Probleme

Fie ecuația $(x-[x])e^x=\dfrac{1}{9}$, unde prin $[x]$ s-a notat partea întreagă a numărului real $x$. Câte soluții are această ecuație în intervalul $(-5,5)$?

a) $5$; b) $9$; c) $8$; d) $6$; e) $4$; f) $7$.

Fie funcția $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2\ln x$ și punctul $M(0,-2)$. Fie

$$A=\{x_0\in(0,\infty)\mid \text{tangenta la graficul funcției } f \text{ în punctul de abscisă } x_0 \text{ trece prin } M\}.$$

Atunci:

a) $A\subset(e^2,\infty)$; b) $A\subset(\sqrt{e},e)$; c) $A\subset(0,1)$; d) $A\subset(e\sqrt{e},e^2)$; e) $A\subset(1,\sqrt{e})$; f) $A\subset(e,e\sqrt{e})$.

Să se calculeze $l=\lim_{\alpha\to\infty}\displaystyle\int_0^{\alpha}\dfrac{2x+1}{x^4+2x^3+3x^2+2x+2}\,dx$.

a) $l=\dfrac{\pi}{3}$; b) $l=\operatorname{arctg} 2$; c) $l=\dfrac{\pi}{2}$; d) $l=\operatorname{arctg}\dfrac{1}{3}$; e) $l=\operatorname{arctg} 3$; f) $l=\dfrac{\pi}{4}$.

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{x^2+ax+b}{\sqrt{x^2+1}}$, unde $a,b$ sunt numere reale. Presupunem că funcția $f$ admite trei puncte de extrem local și are asimptota $y=x+2$. Atunci

a) $a+b>7$; b) $a+b\in(6,7)$; c) $a+b\in(5,6)$; d) $ab\in(6,7)$; e) $ab=6$; f) $ab=\dfrac{1}{4}$.

Să se determine suma pătratelor soluțiilor reale ale ecuației $\sqrt[3]{5x-2}=\dfrac{1}{5}(x^3+2)$.

a) $14$; b) $10$; c) $9$; d) $17$; e) $4$; f) $11$.

Fie polinomul $P\in\mathbb{R}[X]$, $P=aX^{2024}+bX^{2023}+2X^3+cX^2+7X-3$. Dacă $P$ este divizibil prin $X^2+1$ și restul împărțirii lui $P$ la $X+1$ este $3$, să se calculeze $P(1)$.

a) $31$; b) $15$; c) $21$; d) $-14$; e) $27$; f) $36$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție: $x*y=2xy-10x-10y+55$. Să se determine suma soluțiilor reale ale ecuației

$$\underbrace{x*x*\cdots*x}_{\text{de } 2024 \text{ ori } x}=\dfrac{11}{2}.$$

a) $10$; b) $14$; c) $12$; d) $9$; e) $11$; f) $13$.

Fie $f:(1,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(y)=\displaystyle\int_0^y \dfrac{1}{x^2-2x+y}\,dx$. Calculați $\displaystyle\int_2^{10} f(y)\,dy$.

a) $3\pi$; b) $2\pi$; c) $\dfrac{5\pi}{3}$; d) $\pi$; e) $\dfrac{\pi}{2}$; f) $\dfrac{3\pi}{2}$.