Probleme

Fie ecuația $(x-[x])e^x=\dfrac{1}{9}$, unde prin $[x]$ s-a notat partea întreagă a numărului real $x$. Câte soluții are această ecuație în intervalul $(-5,5)$?

a) $5$; b) $9$; c) $8$; d) $6$; e) $4$; f) $7$.

Fie funcția $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2\ln x$ și punctul $M(0,-2)$. Fie

$$A=\{x_0\in(0,\infty)\mid \text{tangenta la graficul funcției } f \text{ în punctul de abscisă } x_0 \text{ trece prin } M\}.$$

Atunci:

a) $A\subset(e^2,\infty)$; b) $A\subset(\sqrt{e},e)$; c) $A\subset(0,1)$; d) $A\subset(e\sqrt{e},e^2)$; e) $A\subset(1,\sqrt{e})$; f) $A\subset(e,e\sqrt{e})$.

Să se determine suma pătratelor soluțiilor reale ale ecuației $\sqrt[3]{5x-2}=\dfrac{1}{5}(x^3+2)$.

a) $14$; b) $10$; c) $9$; d) $17$; e) $4$; f) $11$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție: $x*y=2xy-10x-10y+55$. Să se determine suma soluțiilor reale ale ecuației

$$\underbrace{x*x*\cdots*x}_{\text{de } 2024 \text{ ori } x}=\dfrac{11}{2}.$$

a) $10$; b) $14$; c) $12$; d) $9$; e) $11$; f) $13$.