Probleme

Să se calculeze $l=\displaystyle\lim_{x\to\pi}\dfrac{\int_0^{\sin x} e^{t^2}\,dt}{\int_0^{\operatorname{tg} x} e^{t^2}\,dt}$.

a) $l=0$; b) $l=\infty$; c) $l=-1$; d) $l=1$; e) $l=-\infty$; f) $l=2$.

Fie $\mathcal{F}$ mulțimea funcțiilor $f:[0,1]\to\mathbb{R}$, continue pe $[0,1]$ și de două ori derivabile pe $(0,1)$, astfel încât $f(0)=f(1)=0$ și $f''(x)\ge -2$, pentru orice $x\in(0,1)$. Să se determine valoarea maximă a integralei $\int_0^1 f(x)\,dx$, atunci când $f\in\mathcal{F}$.

a) $\dfrac{1}{4}$; b) $1$; c) $\dfrac{1}{6}$; d) $\dfrac{1}{2}$; e) $\dfrac{1}{3}$; f) $\dfrac{1}{8}$.