Probleme

Să se determine suma pătratelor soluțiilor ecuației $\min\left\{1,x+2,\dfrac{5+4x}{7}\right\}=\dfrac{2x+1}{3}$, $x\in\mathbb{R}$.

a) $26$; b) $22$; c) $24$; d) $1$; e) $25$; f) $42$.

Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $\sqrt{6x-8}=x$ este:

a) $\{-3;-2\}$; b) $\{-1;0\}$; c) $\{3;5\}$; d) $\{2;4\}$; e) $\{-4;-2\}$; f) $\{1;3\}$.

Să se rezolve inecuația $3x+1>2x+2$.

a) $x\in(-1,1)$; b) $x\in(1,\infty)$; c) $x\in(-\infty,-1)$; d) $x\in(-2,-1)$; e) $x\in(-\infty,-2)$; f) $x\in(-\infty,0)$.

Fie $a,b,c,d\in\mathbb{N}^*$ astfel încât $\log_a b=\dfrac{4}{3}$ și $\log_c d=\dfrac{5}{6}$. Dacă $c-a=37$, atunci $b-d$ este:

a) $49$; b) $56$; c) $38$; d) $52$; e) $42$; f) $64$.

Aflați valorile lui $m\in\mathbb{R}$ pentru care ecuația $xe^x-me^x+1=0$ admite două soluții reale distincte.

a) $m\in(1,\infty)$; b) $m\in\left(-\dfrac{1}{2},0\right)$; c) $m\in\left(\dfrac{1}{2},1\right)$; d) $m\in(-\infty,-1)$; e) $m\in\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$; f) $m\in\left(-1,-\dfrac{1}{2}\right)$.

Să se determine suma modulelor soluțiilor ecuației $3^{x^2+4x+6}=27$.

a) $7$; b) $5$; c) $1$; d) $6$; e) $3$; f) $4$.

Să se determine numărul soluțiilor reale ale ecuației $\left[\dfrac{2x-1}{3}\right]+\left[\dfrac{4x+1}{6}\right]=\dfrac{5x-4}{3}$, unde prin $[a]$ notăm partea întreagă a numărului real $a$.

a) $5$; b) $9$; c) $10$; d) $8$; e) $6$; f) $7$.

Să se determine valoarea parametrului real $m$ pentru care ecuația $\left|\left|\left|x-1\right|-2\right|-3\right|=mx$ are o infinitate de soluții.

a) $m=1$; b) $m=-1$; c) $m=3$; d) $m=-4$; e) $m=-2$; f) $m=-3$.

Comparați numerele $a=2024^{\sqrt{2022}}$, $b=2023^{\sqrt{2023}}$ și $c=2022^{\sqrt{2024}}$.

a) $c<b<a$; b) $b<c<a$; c) $c<a<b$; d) $a<b<c$; e) $a<c<b$; f) $b<a<c$.

Aflați valorile lui $m\in\mathbb{R}$ pentru care ecuația $1-2x-2x^2=me^{2x}$ admite trei soluții reale distincte.

a) $m\in\left(-\dfrac{3}{e^2},0\right)$; b) $m\in\left(-\infty,-\dfrac{3}{e^2}\right)$; c) $m\in\left(\dfrac{1}{e},1\right)$; d) $m\in(e,\infty)$; e) $m\in(1,e)$; f) $m\in\left(0,\dfrac{1}{e}\right)$.

Să se afle $m\in\mathbb{R}$ astfel încât ecuația $x+1=m\cdot e^{|1-x|}$ să aibă două soluții reale distincte.

a) $m\in(0,2)$; b) $m\in\left(-\dfrac{1}{e^3},2\right)$; c) $m\in\left(-\dfrac{1}{e^2},0\right)\cup(0,1)$; d) $m\in(-e^3,1)\cup(1,2)$; e) $m\in\left(-\dfrac{1}{e^3},0\right)\cup(0,2)$; f) $m\in(0,1)$.

Fie ecuația $(x-[x])e^x=\dfrac{1}{9}$, unde prin $[x]$ s-a notat partea întreagă a numărului real $x$. Câte soluții are această ecuație în intervalul $(-5,5)$?

a) $5$; b) $9$; c) $8$; d) $6$; e) $4$; f) $7$.

Fie funcția $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2\ln x$ și punctul $M(0,-2)$. Fie

$$A=\{x_0\in(0,\infty)\mid \text{tangenta la graficul funcției } f \text{ în punctul de abscisă } x_0 \text{ trece prin } M\}.$$

Atunci:

a) $A\subset(e^2,\infty)$; b) $A\subset(\sqrt{e},e)$; c) $A\subset(0,1)$; d) $A\subset(e\sqrt{e},e^2)$; e) $A\subset(1,\sqrt{e})$; f) $A\subset(e,e\sqrt{e})$.

Să se determine suma pătratelor soluțiilor reale ale ecuației $\sqrt[3]{5x-2}=\dfrac{1}{5}(x^3+2)$.

a) $14$; b) $10$; c) $9$; d) $17$; e) $4$; f) $11$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție: $x*y=2xy-10x-10y+55$. Să se determine suma soluțiilor reale ale ecuației

$$\underbrace{x*x*\cdots*x}_{\text{de } 2024 \text{ ori } x}=\dfrac{11}{2}.$$

a) $10$; b) $14$; c) $12$; d) $9$; e) $11$; f) $13$.

Să se afle valorile parametrului real $m$ astfel încât ecuația $x^2+1=me^{-\frac{1}{x}}$ să aibă trei soluții reale distincte.

a) $m>2e$; b) $m\in(1,e)$; c) $m\in(1,e^2)$; d) $m\in(e,2e)$; e) $m<2e$; f) $m\in(0,1)$.

Fie $f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{R}$, $f(n)=n+\left[\dfrac{2022}{n}\right]$, unde prin $[x]$ notăm partea întreagă a numărului real $x$. Pentru câte valori $n\in\mathbb{N}^*$, funcția $f$ își atinge cea mai mică valoare?

a) $6$; b) $2$; c) $4$; d) $1$; e) $3$; f) $5$.

Pe mulțimea $\mathbb{Z}$ a numerelor întregi se definește legea de compoziție $x\circ y=xy-5x-5y+30$. Atunci suma elementelor simetrizabile în raport cu legea de compoziție "$\circ$" este:

a) $10$; b) $9$; c) $6$; d) $0$; e) $5$; f) $8$.

Să se determine mulțimea valorilor lui $a\in\mathbb{R}$ astfel încât ecuația $\ln(1+2x)-x^{2}=a$ să aibă o singură soluție strict negativă.

a) $a\in(-e,e)$; b) $a\in(0,\ln 2)$; c) $a\in(-1,\ln 2)$; d) $a\in(-\infty,0)$; e) $a\in\left(0,\ln 2-\dfrac{1}{4}\right)$; f) $a\in\left(\dfrac{1}{2},\ln 3\right)$.

Fie numerele $a=2016^{\sqrt{2014}}$, $b=2015^{\sqrt{2015}}$, $c=2014^{\sqrt{2016}}$. Care afirmație este adevărată?

a) $c>a>b$; b) $b>a>c$; c) $c>b>a$; d) $a>c>b$; e) $a>b>c$; f) $b>c>a$.

Câte soluții reale are ecuația $|||x-1|-1|-1|=1$?

a) o infinitate; b) cinci; c) patru; d) șase; e) trei; f) două.