Problema 2

Fie $a,b\in\mathbb{R}$, $a<b$ și fie funcția derivabilă $f:(a,b)\to\mathbb{R}$, cu derivata $f'$ funcție continuă. Știind că $f'(x)+\left(f(x)\right)^{2}+1\ge 0$, $\forall x\in(a,b)$ și că $\lim_{\substack{x\to a \\ x>a}}f(x)=+\infty$, $\lim_{\substack{x\to b \\ x<b}}f(x)=-\infty$, decideți care dintre următoarele afirmații este cea adevărată:

a) $b-a\in\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)$; b) $b-a\in\left[\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{4}\right)$; c) $b-a\in\left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4}\right)$; d) $b-a\in\left[\dfrac{3\pi}{4},\pi\right)$; e) $b-a\in[\pi,\infty)$; f) $b-a\in\left(0,\dfrac{\pi}{6}\right)$.