Problema 5

Fie $f(n)$ și $g(n)$ două funcții oarecare, unde $n$ este număr natural. Considerăm $x$ și $y$ două numere naturale nenule și definim următoarele recurențe:

$$a_0 = 0,\ a_1 = 1,\ a_{n+2} = a_{n+1} + a_n + f(n)$$
$$b_0 = 0,\ b_1 = 1,\ b_{n+2} = b_{n+1} + b_n + g(n)$$
$$c_0 = 0,\ c_1 = 1,\ c_{n+2} = c_{n+1} + c_n + x\cdot f(n) + y\cdot g(n)$$

Cum se poate exprima $c_n$ în funcție de $x$, $y$, $a_n$, $b_n$ și $F_n$, unde $F_n$ este elementul $n$ al șirului lui Fibonacci, care este definit astfel: $F_0=0$, $F_1=1$, $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$?

a) $c_n = x\cdot a_n + y\cdot b_n + (1-x-y)\cdot F_n$; b) $c_n = x\cdot a_n + y\cdot b_n + (1+x+y)\cdot F_n$; c) $c_n = x\cdot a_n + y\cdot b_n + (x+y)\cdot F_n$; d) $c_n = x\cdot a_n + y\cdot b_n + F_n$; e) $c_n = a_n + b_n + (1-x-y)\cdot F_n$; f) $c_n = a_n + b_n + (x+y)\cdot F_n$.