Probleme

Fie $a,b\in\mathbb{R}$, $a<b$ și fie funcția derivabilă $f:(a,b)\to\mathbb{R}$, cu derivata $f'$ funcție continuă. Știind că $f'(x)+\left(f(x)\right)^{2}+1\ge 0$, $\forall x\in(a,b)$ și că $\lim_{\substack{x\to a \\ x>a}}f(x)=+\infty$, $\lim_{\substack{x\to b \\ x<b}}f(x)=-\infty$, decideți care dintre următoarele afirmații este cea adevărată:

a) $b-a\in\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)$; b) $b-a\in\left[\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{4}\right)$; c) $b-a\in\left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4}\right)$; d) $b-a\in\left[\dfrac{3\pi}{4},\pi\right)$; e) $b-a\in[\pi,\infty)$; f) $b-a\in\left(0,\dfrac{\pi}{6}\right)$.

Fie funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x\left(1-x\right)^{2}}$. Să se determine suma absciselor punctelor de extrem local.

a) $\dfrac{2}{5}$; b) $\dfrac{1}{4}$; c) $\dfrac{4}{3}$; d) $\dfrac{5}{2}$; e) $\dfrac{3}{4}$; f) $\dfrac{1}{6}$.

Fie polinomul $f=1+\sum_{k=0}^{100}\dfrac{(-1)^{k+1}}{(k+1)!}X(X-1)\ldots(X-k)$. Dacă $S$ este suma rădăcinilor reale ale lui $f$, iar $T$ este suma rădăcinilor reale ale lui $f'$, atunci $S-T$ este egal cu:

a) $50$; b) $52$; c) $55$; d) $51$; e) $54$; f) $53$.

Fie funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=|x|e^{-x}$. Fie $n$ numărul punctelor de extrem local și $m$ numărul punctelor de inflexiune ale funcției $f$. Care dintre următoarele afirmații este cea adevărată?

a) $n+m=4$; b) $n-m=2$; c) $3n-2m=4$; d) $n+2m=5$; e) $3n+2m=5$; f) $n-2m=1$.