Probleme

Fie o matrice de $n$ linii și $n$ coloane. Un număr de elemente $k \ge 1$ din matrice sunt impare, restul fiind pare. Câte submulțimi nevide cu elemente putem construi, astfel încât suma elementelor unei submulțimi să fie pară, dacă $n=4$ și $k=2$?

a) $512$; b) $32768$; c) $16384$; d) $16$; e) $256$; f) $32767$.

Două numere naturale distincte, fiecare având exact $3$ cifre, sunt considerate partenere dacă primele două cifre ale primului număr sunt egale cu ultimele două cifre ale celui de-al doilea număr, în aceeași ordine. Indicați numărul perechilor de numere partenere cu exact $3$ cifre în care primul număr din pereche este strict mai mic decât al doilea.

a) $8100$; b) $3996$; c) $4104$; d) $4005$; e) $8091$; f) $4095$.

Fie un șir S format din literele a și b, grupate ca blocuri consecutive după următoarea regulă: 4 de a, apoi 7 de b, apoi 5 de a, apoi 6 de b, apoi 8 de a, apoi 4 de b, apoi 6 de a, apoi 9 de b, adică șirul format după regula descrisă arată astfel: S = aaaabbbbbbbaaaaabbbbbbaaaaaaaabbbbaaaaaabbbbbbbbb. Un subșir al lui S este numit valid dacă conține același număr de caractere a și b și toate caracterele a sunt consecutive și toate caracterele b sunt consecutive (de exemplu subșirurile de forma aaaabbbb, bbbbaaaa, aaabbb, ab, etc. sunt valide). Câte subșiruri valide sunt în S?

a) $34$; b) $34!$; c) $26$; d) $2^{17}$; e) $17$; f) $37$.

Considerăm un graf neorientat complet cu nodurile $\{1,2,\dots,10\}$. Alegem exact $9$ muchii astfel încât subgraful format are următoarele proprietăți: (1) este conex; (2) nu conține niciun ciclu; și (3) nodurile $1$, $2$, $3$ și $4$ au gradul $1$ în subgraful format. Câte astfel de alegeri distincte putem face pentru ca subgraful rezultat să îndeplinească toate cele trei condiții?

a) $6^8$; b) $4!\cdot 6^4$; c) $10^8$; d) $7^8$; e) $10\cdot 6^7$; f) $6^7$.