Probleme

Să se calculeze $l=\displaystyle\lim_{x\to\pi}\dfrac{\int_0^{\sin x} e^{t^2}\,dt}{\int_0^{\operatorname{tg} x} e^{t^2}\,dt}$.

a) $l=0$; b) $l=\infty$; c) $l=-1$; d) $l=1$; e) $l=-\infty$; f) $l=2$.

Fie $\mathcal{F}$ mulțimea funcțiilor $f:[0,1]\to\mathbb{R}$, continue pe $[0,1]$ și de două ori derivabile pe $(0,1)$, astfel încât $f(0)=f(1)=0$ și $f''(x)\ge -2$, pentru orice $x\in(0,1)$. Să se determine valoarea maximă a integralei $\int_0^1 f(x)\,dx$, atunci când $f\in\mathcal{F}$.

a) $\dfrac{1}{4}$; b) $1$; c) $\dfrac{1}{6}$; d) $\dfrac{1}{2}$; e) $\dfrac{1}{3}$; f) $\dfrac{1}{8}$.

Valoarea limitei $\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^4}\int_{x^2}^{2x^2}\dfrac{t}{\sqrt{t^2+9}}\,dt$ este:

a) $2$; b) $1$; c) $0$; d) $\infty$; e) $\dfrac{1}{2}$; f) $-1$.

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ o funcție derivabilă, astfel încât $x^2+2\int_0^x t\cdot f(t)\,dt+2=(x^2+1)\cdot f(x)+\ln 2$, $(\forall)\, x\in\mathbb{R}$. Atunci $\int_0^1 f(x)\,dx$ este:

a) $\dfrac{\pi}{2}$; b) $\pi$; c) $1$; d) $\dfrac{\pi}{3}$; e) $\dfrac{\pi}{4}$; f) $\dfrac{3\pi}{4}$.

Să se calculeze $I=\int_{-2}^{2}\dfrac{1}{(x^2+4)(3^x+1)}\,dx$.

a) $I=\dfrac{\pi}{3}$; b) $I=0$; c) $I=\dfrac{\pi}{20}$; d) $I=\dfrac{\pi}{4}$; e) $I=\dfrac{\pi}{10}$; f) $I=\dfrac{\pi}{8}$.

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, o funcție continuă astfel încât $f(3x)=9f(x)$, pentru orice $x\in\mathbb{R}$. Știind că $\int_0^1 f(x)\,dx=1$, să se calculeze $\int_1^3 f(x)\,dx$.

a) $28$; b) $18$; c) $26$; d) $20$; e) $24$; f) $15$.

Fie funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, cu $f(0)=-2$, care admite primitiva $F$. Dacă $f(x)+2F(x)=3$, pentru orice $x\in\mathbb{R}$, să se calculeze $f(-1)$.

a) $2e^2$; b) $e^2$; c) $-4e^3$; d) $-2e^2$; e) $-e^3$; f) $2e^{-2}$.

Să se calculeze $l=\lim_{\alpha\to\infty}\displaystyle\int_0^{\alpha}\dfrac{2x+1}{x^4+2x^3+3x^2+2x+2}\,dx$.

a) $l=\dfrac{\pi}{3}$; b) $l=\operatorname{arctg} 2$; c) $l=\dfrac{\pi}{2}$; d) $l=\operatorname{arctg}\dfrac{1}{3}$; e) $l=\operatorname{arctg} 3$; f) $l=\dfrac{\pi}{4}$.

Fie $f:(1,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(y)=\displaystyle\int_0^y \dfrac{1}{x^2-2x+y}\,dx$. Calculați $\displaystyle\int_2^{10} f(y)\,dy$.

a) $3\pi$; b) $2\pi$; c) $\dfrac{5\pi}{3}$; d) $\pi$; e) $\dfrac{\pi}{2}$; f) $\dfrac{3\pi}{2}$.

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\displaystyle\int_0^1 |x-t|\,dt$. Să se calculeze $I=\displaystyle\int_{-1}^{2} f(x)\,dx$.

a) $I=\dfrac{11}{2}$; b) $I=\dfrac{8}{5}$; c) $I=\dfrac{4}{3}$; d) $I=\dfrac{1}{2}$; e) $I=\dfrac{1}{5}$; f) $I=\dfrac{7}{3}$.

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, funcția continuă care verifică relația $3f(x)+5f(-x)=4x+3$, pentru orice $x\in\mathbb{R}$. Să se determine numărul real $a$ astfel încât $\displaystyle\int_{-a}^{a} \dfrac{f(x)}{x^2+4}\,dx=\dfrac{3\pi}{32}$.

a) $a=2$; b) $a=4$; c) $a=-2$; d) $a=3$; e) $a=1$; f) $a=7$.

Fie funcția $f:[1,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=\int_{1}^{x} t(1-\ln^{2}t)\,dt$. Aflați abscisa punctului de maxim local.

a) $e$; b) $2\sqrt{e}$; c) $\sqrt[3]{e^{2}}$; d) $\dfrac{1}{e}$; e) $\sqrt{e}$; f) $e^{2}$.

Dacă $a$, $b$ și $c$ sunt determinate astfel încât să aibă loc egalitatea $\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^{5}}\int_{0}^{x}(a+b\cos t+c\cos 2t)\,dt=\dfrac{1}{5}$, să se calculeze $S=|a|+|b|+|c|$.

a) $S=16$; b) $S=18$; c) $S=14$; d) $S=24$; e) $S=20$; f) $S=22$.

Fie funcția $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{x\ln x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}$. Dacă $F$ este o primitivă a funcției $f$ astfel încât $F(1)=0$, să se calculeze $\lim_{x\to\infty}F(x)$.

a) $\dfrac{1}{4}\ln 2$; b) $\dfrac{1}{2}\ln 2$; c) $\dfrac{1}{4}\ln 5$; d) $\dfrac{1}{3}\ln 3$; e) $\dfrac{1}{5}\ln 2$; f) $\dfrac{1}{3}\ln 7$.

Pentru $a>0$, considerăm funcția $f:[0,a]\to\mathbb{R}_+$, $f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$. Dacă $V(a)$ este volumul corpului obținut prin rotirea graficului funcției $f$ în jurul axei $Ox$, să se calculeze $\lim\limits_{a\to\infty} V(a)$.

a) $\dfrac{\pi^2}{3}$; b) $\pi^2$; c) $\dfrac{\pi^2}{4}$; d) $\dfrac{\pi^2}{2}$; e) $\dfrac{\pi^2}{6}$; f) $\dfrac{\pi^2}{8}$.

Fie $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{1}{(1+x^2)(1+x^3)}$ și $g:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $g(x)=\int_{1/x}^{1} f(t)\,dt-\int_{1}^{x} t^3 f(t)\,dt+\ln x$. Ecuația tangentei la graficul funcției $g$ în punctul de abscisă $x=1$ este:

a) $y=\dfrac{1}{2}(x-1)$; b) $y=e(1-x)$; c) $y=x-1$; d) $y=1-x$; e) $y=e(x-1)$; f) $y=2(1-x)$.

Să se calculeze $\lim\limits_{\substack{\varepsilon\to 0 \\ \varepsilon>0}}\int_{\varepsilon}^{1} x^{2015}\ln x\,dx$.

a) $-\infty$; b) $-\dfrac{1}{2016^2}$; c) $-\dfrac{1}{2015}$; d) $-\dfrac{1}{2014}$; e) $-\dfrac{1}{2015^2}$; f) $0$.