Probleme

Să se determine mulțimea valorilor parametrului real $m$ pentru care matricea $\begin{pmatrix} 2 & x & 3 \\ m & x-1 & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}$ are rangul trei pentru orice $x<0$.

a) $\left(\dfrac{2}{3},1\right)$; b) $\left(\dfrac{5}{3},2\right]$; c) $\left(\dfrac{1}{2},2\right)$; d) $\left[-1,\dfrac{4}{3}\right]\cup\{2\}$; e) $\left[-\dfrac{1}{3},2\right]$; f) $\left(\dfrac{1}{3},1\right)$.

Fie matricea $A=\begin{pmatrix} 1 & 2025 & 2 \\ 2024 & 2 & 2024 \\ 2 & 2025 & 3 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$. Valoarea raportului $\dfrac{\det(A^{2025})}{\det(A^{2024})}$ este egală cu:

a) $2025\cdot 2024$; b) $2025$; c) $\dfrac{2025}{2024}$; d) $1$; e) $-2$; f) $0$.

Fie sistemul de ecuații liniare
$$\begin{cases} 2mx+y+(m+1)z=2m+1 \\ (m+2)x+(m+1)y+(m+2)z=2 \\ 3mx+y+(2m+1)z=1 \end{cases}$$
unde $m$ este un parametru real. Notăm cu $A$ mulțimea valorilor lui $m$ pentru care sistemul este incompatibil. Atunci:

a) $A=\{0;1\}$; b) $A=\{1;2\}$; c) $A=\{-1;0;1\}$; d) $A=\{-1;1\}$; e) $A=\{-2;-1\}$; f) $A=\{-2;0;1\}$.

Fie matricea $A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & -3 \\ 3 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$. Atunci suma modulelor elementelor de pe diagonala principală a matricei $A^{59}$ este:

a) $30799$; b) $30789$; c) $30790$; d) $30800$; e) $30795$; f) $30788$.

Fie matricea $A=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$. Dacă $X(a)=I_2+aA$, $a\in\mathbb{R}$, să se determine numărul real $t$, știind că $X(2^t)=X(1)\cdot X\left(\dfrac{1}{2}\right)\cdot X\left(\dfrac{1}{3}\right)\cdot\ldots\cdot X\left(\dfrac{1}{1024}\right)$.

a) $t=7$; b) $t=14$; c) $t=-5$; d) $t=10$; e) $t=-7$; f) $t=9$.

Fie sistemul
$$\begin{cases} mx+y-z=1 \\ x+y-z=2 \\ -x+y+z=0 \end{cases}$$
unde $m$ este un parametru real. Pentru câte valori $m\in\mathbb{Z}$ sistemul are soluție unică $(x_0,y_0,z_0)$, cu componentele numere întregi?

a) $4$; b) $3$; c) $1$; d) o infinitate; e) $2$; f) $5$.

Se consideră sistemul
$$\begin{cases} 2x+ay+az=1 \\ 3x+(2a-1)y+az=a \\ (a+3)x+ay+az=3a-2 \end{cases}$$
Să se afle $a\in\mathbb{R}$ astfel încât sistemul să fie compatibil nedeterminat.

a) $a=1$; b) $a=0$; c) $a=-1$; d) $a=4$; e) $a=2$; f) $a=-2$.

Fie $M=\left\{X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\ \middle|\ X^2=\begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}\right\}$, unde $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ reprezintă mulțimea matricelor pătratice de ordinul doi, cu elemente în $\mathbb{C}$. Pentru $X\in M$, notăm cu $S(X)$ suma pătratelor elementelor matricei $X$. Să se calculeze $S=\sum\limits_{X\in M} S(X)$.

a) $S=3$; b) $S=4$; c) $S=5$; d) $S=11$; e) $S=7$; f) $S=1$.