Probleme

Fie matricea $A=\begin{pmatrix} 1 & 2025 & 2 \\ 2024 & 2 & 2024 \\ 2 & 2025 & 3 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$. Valoarea raportului $\dfrac{\det(A^{2025})}{\det(A^{2024})}$ este egală cu:

a) $2025\cdot 2024$; b) $2025$; c) $\dfrac{2025}{2024}$; d) $1$; e) $-2$; f) $0$.

Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $\sqrt{6x-8}=x$ este:

a) $\{-3;-2\}$; b) $\{-1;0\}$; c) $\{3;5\}$; d) $\{2;4\}$; e) $\{-4;-2\}$; f) $\{1;3\}$.

Să se determine coeficientul lui $x^6$ din dezvoltarea $(1+x+x^3)^6$.

a) $70$; b) $75$; c) $78$; d) $79$; e) $76$; f) $80$.

Să se rezolve inecuația $3x+1>2x+2$.

a) $x\in(-1,1)$; b) $x\in(1,\infty)$; c) $x\in(-\infty,-1)$; d) $x\in(-2,-1)$; e) $x\in(-\infty,-2)$; f) $x\in(-\infty,0)$.

Fie $a,b,c,d\in\mathbb{N}^*$ astfel încât $\log_a b=\dfrac{4}{3}$ și $\log_c d=\dfrac{5}{6}$. Dacă $c-a=37$, atunci $b-d$ este:

a) $49$; b) $56$; c) $38$; d) $52$; e) $42$; f) $64$.

Fie secvența de program de mai jos, unde $n$ și $i$ sunt variabile de tip întreg, iar $a$ și $b$ sunt două tablouri unidimensionale (vectori) de întregi. Dacă $n=6$ și $a=(2,1,5,3,4,6)$, $b=(1,3,5,2,4,6)$, atunci, după rularea secvenței de mai jos, cele două variabile $a$ și $b$ vor fi:

(varianta C/C++)

for(i=0;i<n;i++) a[i]=a[b[n-i-1]-1];
for(i=0;i<n;i++) b[n-i-1]=b[a[i]-1];

a) a=(6,3,3,4,3,6), b=(6,5,5,5,5,6); b) a=(1,2,3,4,5,6), b=(6,5,4,3,2,1); c) a=(1,2,3,4,5,6), b=(1,2,3,4,5,6); d) a=(6,5,4,3,2,1), b=(6,5,4,3,2,1); e) a=(2,1,5,3,4,6), b=(1,3,5,2,4,6); f) a=(1,3,5,2,4,6), b=(2,1,5,3,4,6).

Fie următoarea afirmație: „Orice graf pentru care 2 este numărul minim de culori este un graf bipartit sau este un graf eulerian.”; unde numărul minim de culori al unui graf reprezintă numărul cel mai mic de culori necesare pentru a colora vârfurile grafului astfel încât două vârfuri adiacente să nu aibă aceeași culoare. Câte dintre următoarele grafuri reprezintă un contra-exemplu pentru această afirmație?

[Graf 1: noduri D, A, B, C; muchii D—A, D—B, D—C, A—B, A—C, B—C.]

[Graf 2: noduri A, B, C, D, E, F; muchii A—B, A—D, B—C, C—D, D—E, C—E; nodul F este izolat (fără muchii).]

[Graf 3: noduri A, B, C; muchii A—B, A—C, B—C.]

[Graf 4: noduri A, B, C, D, E, F; muchii A—D, A—E, B—D, B—E, B—F, C—E, C—F.]

[Graf 5: noduri A, B, C, F, G; muchii A—B, A—C, C—F, C—G.]

a) 5; b) 0; c) 3; d) 2; e) 4; f) 1.

Fie $A=\begin{pmatrix} m & -1 \\ 2 & m+2 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Știind că $\det(A)=1$, să se calculeze $m^2+2$.

a) $2$; b) $11$; c) $3$; d) $5$; e) $4$; f) $6$.

Aflați valorile lui $m\in\mathbb{R}$ pentru care ecuația $xe^x-me^x+1=0$ admite două soluții reale distincte.

a) $m\in(1,\infty)$; b) $m\in\left(-\dfrac{1}{2},0\right)$; c) $m\in\left(\dfrac{1}{2},1\right)$; d) $m\in(-\infty,-1)$; e) $m\in\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$; f) $m\in\left(-1,-\dfrac{1}{2}\right)$.

Numărul de elemente ale mulțimii $M=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} : |x|+|y|<100\}$ este egal cu:

a) $19801$; b) $19803$; c) $19798$; d) $19800$; e) $19802$; f) $19799$.

Să se determine suma modulelor soluțiilor ecuației $3^{x^2+4x+6}=27$.

a) $7$; b) $5$; c) $1$; d) $6$; e) $3$; f) $4$.

Folosim metoda backtracking pentru a genera numere naturale în ordine crescătoare utilizând cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5 și 6. Primele 10 numere generate sunt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12. Care este al 256-lea număr generat?

a) 513; b) 501; c) 555; d) 466; e) 444; f) 503.

Fie următoarea funcție recursivă definită prin pseudocod. Câte apeluri ale funcției se realizează pentru a calcula func(20, 2025)?

intreg func(intreg x, intreg n) {
    daca x < 2 atunci
        intoarce n;
    intoarce func(x-2, n+2) + 2*func(x-4, n-1);
}

a) 2024; b) 1706; c) 144; d) 89; e) 2025; f) 287.

Fie funcțiile $f,g:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=\operatorname{arctg}\sqrt{x}$ și $g(x)=\dfrac{1}{4}(\pi+\ln x)$. Dacă tangenta comună într-un punct comun al graficelor funcțiilor $f$ și $g$ intersectează axa $Ox$ în punctul $P(\alpha,0)$, atunci $\alpha$ este:

a) $\pi$; b) $1$; c) $1-\pi$; d) $1+\pi$; e) $\dfrac{\pi}{2}+1$; f) $0$.

La un festival de dans participă $n$ fete și $m$ băieți. Pentru demonstrațiile de dans planificate se formează $k$ perechi, alcătuite fiecare dintr-o fată și un băiat. Să se calculeze toate posibilitățile de formare a perechilor, dacă $n=7$, $m=5$, $k=3$.

a) 2100; b) 35; c) 60; d) 210; e) 2880; f) 700.

Fie sistemul de ecuații liniare
$$\begin{cases} 2mx+y+(m+1)z=2m+1 \\ (m+2)x+(m+1)y+(m+2)z=2 \\ 3mx+y+(2m+1)z=1 \end{cases}$$
unde $m$ este un parametru real. Notăm cu $A$ mulțimea valorilor lui $m$ pentru care sistemul este incompatibil. Atunci:

a) $A=\{0;1\}$; b) $A=\{1;2\}$; c) $A=\{-1;0;1\}$; d) $A=\{-1;1\}$; e) $A=\{-2;-1\}$; f) $A=\{-2;0;1\}$.

Valoarea limitei $\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^4}\int_{x^2}^{2x^2}\dfrac{t}{\sqrt{t^2+9}}\,dt$ este:

a) $2$; b) $1$; c) $0$; d) $\infty$; e) $\dfrac{1}{2}$; f) $-1$.

Fie $x_1$, $x_2$, $x_3$ rădăcinile polinomului $f=X^3+mX+6$, unde $m<0$. Dacă $x_1^4+x_2^4+x_3^4=98$, să se calculeze $|x_1|+|x_2|+|x_3|$.

a) $6$; b) $2$; c) $4$; d) $0$; e) $5$; f) $3$.

Dacă $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile reale ale ecuației $x^2+3x+1=0$, atunci valoarea expresiei $\left(\dfrac{x_1}{x_2+1}\right)^2+\left(\dfrac{x_2}{x_1+1}\right)^2$ este:

a) $20$; b) $10$; c) $4$; d) $13$; e) $18$; f) $25$.

Considerăm șirul lui Fibonacci unde $fib(0)=0$, $fib(1)=1$ și $fib(k)=fib(k-1)+fib(k-2)$, pentru orice $k>1$, natural. Se construiește un arbore definit în funcție de numărul de nivele, rădăcina se află pe nivelul 1, și fiecare nod de pe nivelul $h$ are $fib(h+2)$ copii. Calculăm $N$ ca fiind numărul de noduri pentru un astfel de arbore cu 10 nivele. Pentru că numărul $N$ este destul de mare, se cere $N \bmod 13$ (restul împărțirii lui $N$ la 13).

a) 7; b) 3; c) 8; d) 4; e) 11; f) 6.

Să se determine numărul soluțiilor reale ale ecuației $\left[\dfrac{2x-1}{3}\right]+\left[\dfrac{4x+1}{6}\right]=\dfrac{5x-4}{3}$, unde prin $[a]$ notăm partea întreagă a numărului real $a$.

a) $5$; b) $9$; c) $10$; d) $8$; e) $6$; f) $7$.

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ o funcție derivabilă, astfel încât $x^2+2\int_0^x t\cdot f(t)\,dt+2=(x^2+1)\cdot f(x)+\ln 2$, $(\forall)\, x\in\mathbb{R}$. Atunci $\int_0^1 f(x)\,dx$ este:

a) $\dfrac{\pi}{2}$; b) $\pi$; c) $1$; d) $\dfrac{\pi}{3}$; e) $\dfrac{\pi}{4}$; f) $\dfrac{3\pi}{4}$.

Care este rezultatul apelului power(2,2025) pentru funcția recursivă definită mai jos?

(varianta C/C++)

int power(int x, int n) {
    if(n==0)
        return 1;
    if(n%2==0)
        return x * power(x, n/2);
    else
        return power(x, (n-1)/2);
}

a) 8; b) 1024; c) 128; d) 4096; e) 16; f) 2048.

Pentru mulțimea $\{1, 2, 3, \ldots, n\}$ se generează printr-un program toate permutările în care nu există numere vecine alăturate. Două numere $a$ și $b$ sunt vecine dacă $|a-b|=1$ (de exemplu 3 și 4 sunt vecine, 2 și 1 sunt vecine). Știind că pentru $n=5$ au fost generate 14 permutări distincte în care nu există numere vecine, câte permutări se vor genera pentru $n=6$?

a) 72; b) 56; c) 144; d) 90; e) 89; f) 120.

Să se determine valoarea parametrului real $m$ pentru care ecuația $\left|\left|\left|x-1\right|-2\right|-3\right|=mx$ are o infinitate de soluții.

a) $m=1$; b) $m=-1$; c) $m=3$; d) $m=-4$; e) $m=-2$; f) $m=-3$.

Fie $(a_n)_{n\ge 1}$ o progresie aritmetică și $S_n$ suma primilor $n$ termeni ai acesteia. Dacă $S_5=40$ și $S_{10}=155$, să se calculeze $S_{15}$.

a) $344$; b) $346$; c) $345$; d) $340$; e) $343$; f) $347$.