Probleme

Fie funcția $f:\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\operatorname{arctg}\dfrac{1}{x^2-1}$. Care dintre următoarele afirmații nu este adevărată?

a) $f$ are două puncte de inflexiune; b) $f$ este funcție pară; c) $f$ are asimptotă verticală; d) $f$ este funcție mărginită; e) $f$ are asimptotă orizontală; f) $f$ are un punct de maxim local.

Fie funcțiile $f,g:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=\operatorname{arctg}\sqrt{x}$ și $g(x)=\dfrac{1}{4}(\pi+\ln x)$. Dacă tangenta comună într-un punct comun al graficelor funcțiilor $f$ și $g$ intersectează axa $Ox$ în punctul $P(\alpha,0)$, atunci $\alpha$ este:

a) $\pi$; b) $1$; c) $1-\pi$; d) $1+\pi$; e) $\dfrac{\pi}{2}+1$; f) $0$.

Fie $a,b\in\mathbb{R}$, $a<b$ și fie funcția derivabilă $f:(a,b)\to\mathbb{R}$, cu derivata $f'$ funcție continuă. Știind că $f'(x)+\left(f(x)\right)^{2}+1\ge 0$, $\forall x\in(a,b)$ și că $\lim_{\substack{x\to a \\ x>a}}f(x)=+\infty$, $\lim_{\substack{x\to b \\ x<b}}f(x)=-\infty$, decideți care dintre următoarele afirmații este cea adevărată:

a) $b-a\in\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)$; b) $b-a\in\left[\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{4}\right)$; c) $b-a\in\left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4}\right)$; d) $b-a\in\left[\dfrac{3\pi}{4},\pi\right)$; e) $b-a\in[\pi,\infty)$; f) $b-a\in\left(0,\dfrac{\pi}{6}\right)$.

Considerăm funcția $f:[-1,1]\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{\pi}{2}-2\operatorname{arctg}\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}$, dacă $x\in(-1,1]$, și $f(-1)=-\dfrac{\pi}{2}$. Fie $M=\{m\in\mathbb{R}\mid$ ecuația $f(x)=mx$ are trei soluții reale și distincte$\}$. Atunci:

a) $M=\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right]$; b) $M=\left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{2}\right]$; c) $M=\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{3}\right]$; d) $M=\left[0,\dfrac{\pi}{3}\right]$; e) $M=\left[1,\dfrac{\pi}{4}\right)$; f) $M=\left(1,\dfrac{\pi}{2}\right]$.