Probleme

Fie $x_1$, $x_2$, $x_3$ rădăcinile polinomului $f=X^3+mX+6$, unde $m<0$. Dacă $x_1^4+x_2^4+x_3^4=98$, să se calculeze $|x_1|+|x_2|+|x_3|$.

a) $6$; b) $2$; c) $4$; d) $0$; e) $5$; f) $3$.

Dacă $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile reale ale ecuației $x^2+3x+1=0$, atunci valoarea expresiei $\left(\dfrac{x_1}{x_2+1}\right)^2+\left(\dfrac{x_2}{x_1+1}\right)^2$ este:

a) $20$; b) $10$; c) $4$; d) $13$; e) $18$; f) $25$.

Fie polinomul $f=(X+1)^{2024}+3X+5$. Să se determine restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g=X^2+3X+3$.

a) $X+3$; b) $3X+5$; c) $3X+3$; d) $2X-3$; e) $X+1$; f) $2X+3$.

Dacă $a$, $b$ și $c$ sunt numere reale nenule astfel încât $a+b+c=2$ și $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}$, să se calculeze $a^3+b^3+c^3$.

a) $8$; b) $6$; c) $14$; d) $25$; e) $19$; f) $27$.

Fie polinomul $P\in\mathbb{R}[X]$, $P=aX^{2024}+bX^{2023}+2X^3+cX^2+7X-3$. Dacă $P$ este divizibil prin $X^2+1$ și restul împărțirii lui $P$ la $X+1$ este $3$, să se calculeze $P(1)$.

a) $31$; b) $15$; c) $21$; d) $-14$; e) $27$; f) $36$.

Fie $P$ un polinom cu coeficienți reali astfel încât $P(1)+P(2)+\ldots+P(n)=n^{5}$, pentru orice număr natural $n\ge 1$. Să se calculeze $P\left(\dfrac{3}{2}\right)$.

a) $\dfrac{225}{49}$; b) $\dfrac{121}{16}$; c) $\dfrac{114}{31}$; d) $\dfrac{47}{15}$; e) $\dfrac{91}{17}$; f) $\dfrac{169}{25}$.

Fie polinomul $f=1+\sum_{k=0}^{100}\dfrac{(-1)^{k+1}}{(k+1)!}X(X-1)\ldots(X-k)$. Dacă $S$ este suma rădăcinilor reale ale lui $f$, iar $T$ este suma rădăcinilor reale ale lui $f'$, atunci $S-T$ este egal cu:

a) $50$; b) $52$; c) $55$; d) $51$; e) $54$; f) $53$.

Fie polinoamele $f=X^3+aX^2+18$ și $g=X^3+bX+12$, unde $a,b\in\mathbb{R}$. Să se calculeze $S=a+b$ știind că polinoamele $f$ și $g$ au două rădăcini comune.

a) $S=0$; b) $S=1$; c) $S=3$; d) $S=-2$; e) $S=4$; f) $S=-1$.

Fie polinoamele $f,g\in\mathbb{R}[X]$, $f=(X-1)^{2017}+(X-3)^{2016}+X^2+X+1$ și $g=X^2-4X+4$. Să se determine restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g$.

a) $6X+1$; b) $X-1$; c) $6X-3$; d) $2X+1$; e) $2X-3$; f) $X+1$.

Notăm cu $\alpha$ partea reală a unei rădăcini din $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ a polinomului $f=X^3-X^2-X-1$. Atunci:

a) $\alpha\in\left(\dfrac{1}{2},1\right)$; b) $\alpha\in\left(\dfrac{1}{9},\dfrac{1}{4}\right)$; c) $\alpha\in(-2,-1)$; d) $\alpha\in\left(-1,-\dfrac{1}{2}\right)$; e) $\alpha\in\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$; f) $\alpha\in\left(-\dfrac{1}{2},0\right)$.

Fie polinomul $f=X(X+1)^{2n+1}+(m-1)X^n$, unde $n\ge 3$ este număr natural, iar $m\in\mathbb{C}$. Să se determine $m$ astfel încât $f$ să fie divizibil cu $X^2+X+1$.

a) $m=-2$; b) $m=2i$; c) $m=18$; d) $m=2$; e) $m=4$; f) $m=-2i$.