Probleme

Fie funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=e^{-x}(x^2+ax+5)$. Mulțimea valorilor parametrului real $a$ pentru care funcția $f$ are un maxim local și un minim local este:

a) $(-\infty,-4)\cup(4,\infty)$; b) $(-2,2)$; c) $(4,\infty)$; d) $(-3,-2)$; e) $(-\infty,-4)$; f) $(-4,4)$.

Fie $\mathcal{F}$ mulțimea funcțiilor $f:[0,1]\to\mathbb{R}$, continue pe $[0,1]$ și de două ori derivabile pe $(0,1)$, astfel încât $f(0)=f(1)=0$ și $f''(x)\ge -2$, pentru orice $x\in(0,1)$. Să se determine valoarea maximă a integralei $\int_0^1 f(x)\,dx$, atunci când $f\in\mathcal{F}$.

a) $\dfrac{1}{4}$; b) $1$; c) $\dfrac{1}{6}$; d) $\dfrac{1}{2}$; e) $\dfrac{1}{3}$; f) $\dfrac{1}{8}$.

Fie funcția $f:\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\operatorname{arctg}\dfrac{1}{x^2-1}$. Care dintre următoarele afirmații nu este adevărată?

a) $f$ are două puncte de inflexiune; b) $f$ este funcție pară; c) $f$ are asimptotă verticală; d) $f$ este funcție mărginită; e) $f$ are asimptotă orizontală; f) $f$ are un punct de maxim local.

Aflați valorile lui $m\in\mathbb{R}$ pentru care ecuația $xe^x-me^x+1=0$ admite două soluții reale distincte.

a) $m\in(1,\infty)$; b) $m\in\left(-\dfrac{1}{2},0\right)$; c) $m\in\left(\dfrac{1}{2},1\right)$; d) $m\in(-\infty,-1)$; e) $m\in\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$; f) $m\in\left(-1,-\dfrac{1}{2}\right)$.

Fie funcțiile $f,g:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=\operatorname{arctg}\sqrt{x}$ și $g(x)=\dfrac{1}{4}(\pi+\ln x)$. Dacă tangenta comună într-un punct comun al graficelor funcțiilor $f$ și $g$ intersectează axa $Ox$ în punctul $P(\alpha,0)$, atunci $\alpha$ este:

a) $\pi$; b) $1$; c) $1-\pi$; d) $1+\pi$; e) $\dfrac{\pi}{2}+1$; f) $0$.

Fie funcția $f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x\cdot e^{1/x}$. Care dintre următoarele afirmații este falsă?

a) ecuația $f(x)=3$ are două soluții reale distincte; b) ecuația $f(x)=-1$ are o singură soluție reală; c) funcția $f$ are două puncte de inflexiune; d) graficul funcției $f$ are asimptotă oblică; e) funcția $f$ are un singur punct de extrem local; f) graficul funcției $f$ are o singură asimptotă verticală.

Aflați valorile lui $m\in\mathbb{R}$ pentru care ecuația $1-2x-2x^2=me^{2x}$ admite trei soluții reale distincte.

a) $m\in\left(-\dfrac{3}{e^2},0\right)$; b) $m\in\left(-\infty,-\dfrac{3}{e^2}\right)$; c) $m\in\left(\dfrac{1}{e},1\right)$; d) $m\in(e,\infty)$; e) $m\in(1,e)$; f) $m\in\left(0,\dfrac{1}{e}\right)$.

Să se afle $m\in\mathbb{R}$ astfel încât ecuația $x+1=m\cdot e^{|1-x|}$ să aibă două soluții reale distincte.

a) $m\in(0,2)$; b) $m\in\left(-\dfrac{1}{e^3},2\right)$; c) $m\in\left(-\dfrac{1}{e^2},0\right)\cup(0,1)$; d) $m\in(-e^3,1)\cup(1,2)$; e) $m\in\left(-\dfrac{1}{e^3},0\right)\cup(0,2)$; f) $m\in(0,1)$.

Fie funcția $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2\ln x$ și punctul $M(0,-2)$. Fie

$$A=\{x_0\in(0,\infty)\mid \text{tangenta la graficul funcției } f \text{ în punctul de abscisă } x_0 \text{ trece prin } M\}.$$

Atunci:

a) $A\subset(e^2,\infty)$; b) $A\subset(\sqrt{e},e)$; c) $A\subset(0,1)$; d) $A\subset(e\sqrt{e},e^2)$; e) $A\subset(1,\sqrt{e})$; f) $A\subset(e,e\sqrt{e})$.

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{x^2+ax+b}{\sqrt{x^2+1}}$, unde $a,b$ sunt numere reale. Presupunem că funcția $f$ admite trei puncte de extrem local și are asimptota $y=x+2$. Atunci

a) $a+b>7$; b) $a+b\in(6,7)$; c) $a+b\in(5,6)$; d) $ab\in(6,7)$; e) $ab=6$; f) $ab=\dfrac{1}{4}$.

Să se afle valorile parametrului real $m$ astfel încât ecuația $x^2+1=me^{-\frac{1}{x}}$ să aibă trei soluții reale distincte.

a) $m>2e$; b) $m\in(1,e)$; c) $m\in(1,e^2)$; d) $m\in(e,2e)$; e) $m<2e$; f) $m\in(0,1)$.

Fie funcția $f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{|x|e^x}{e^x-e}$. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

a) $f$ are trei puncte de extrem local; b) $f$ are două puncte de extrem local; c) $f$ are un punct de extrem local; d) imaginea funcției $f$ este $\mathbb{R}$; e) $f$ este derivabilă în $0$; f) graficul funcției $f$ are două asimptote oblice.

Fie funcția $f:[1,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=\int_{1}^{x} t(1-\ln^{2}t)\,dt$. Aflați abscisa punctului de maxim local.

a) $e$; b) $2\sqrt{e}$; c) $\sqrt[3]{e^{2}}$; d) $\dfrac{1}{e}$; e) $\sqrt{e}$; f) $e^{2}$.

Să se determine mulțimea valorilor lui $a\in\mathbb{R}$ astfel încât ecuația $\ln(1+2x)-x^{2}=a$ să aibă o singură soluție strict negativă.

a) $a\in(-e,e)$; b) $a\in(0,\ln 2)$; c) $a\in(-1,\ln 2)$; d) $a\in(-\infty,0)$; e) $a\in\left(0,\ln 2-\dfrac{1}{4}\right)$; f) $a\in\left(\dfrac{1}{2},\ln 3\right)$.

Fie $a,b\in\mathbb{R}$, $a<b$ și fie funcția derivabilă $f:(a,b)\to\mathbb{R}$, cu derivata $f'$ funcție continuă. Știind că $f'(x)+\left(f(x)\right)^{2}+1\ge 0$, $\forall x\in(a,b)$ și că $\lim_{\substack{x\to a \\ x>a}}f(x)=+\infty$, $\lim_{\substack{x\to b \\ x<b}}f(x)=-\infty$, decideți care dintre următoarele afirmații este cea adevărată:

a) $b-a\in\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)$; b) $b-a\in\left[\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{4}\right)$; c) $b-a\in\left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4}\right)$; d) $b-a\in\left[\dfrac{3\pi}{4},\pi\right)$; e) $b-a\in[\pi,\infty)$; f) $b-a\in\left(0,\dfrac{\pi}{6}\right)$.

Fie funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x\left(1-x\right)^{2}}$. Să se determine suma absciselor punctelor de extrem local.

a) $\dfrac{2}{5}$; b) $\dfrac{1}{4}$; c) $\dfrac{4}{3}$; d) $\dfrac{5}{2}$; e) $\dfrac{3}{4}$; f) $\dfrac{1}{6}$.

Fie polinomul $f=1+\sum_{k=0}^{100}\dfrac{(-1)^{k+1}}{(k+1)!}X(X-1)\ldots(X-k)$. Dacă $S$ este suma rădăcinilor reale ale lui $f$, iar $T$ este suma rădăcinilor reale ale lui $f'$, atunci $S-T$ este egal cu:

a) $50$; b) $52$; c) $55$; d) $51$; e) $54$; f) $53$.

Fie funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=|x|e^{-x}$. Fie $n$ numărul punctelor de extrem local și $m$ numărul punctelor de inflexiune ale funcției $f$. Care dintre următoarele afirmații este cea adevărată?

a) $n+m=4$; b) $n-m=2$; c) $3n-2m=4$; d) $n+2m=5$; e) $3n+2m=5$; f) $n-2m=1$.

Considerăm funcția $f:[-1,1]\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{\pi}{2}-2\operatorname{arctg}\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}$, dacă $x\in(-1,1]$, și $f(-1)=-\dfrac{\pi}{2}$. Fie $M=\{m\in\mathbb{R}\mid$ ecuația $f(x)=mx$ are trei soluții reale și distincte$\}$. Atunci:

a) $M=\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right]$; b) $M=\left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{2}\right]$; c) $M=\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{3}\right]$; d) $M=\left[0,\dfrac{\pi}{3}\right]$; e) $M=\left[1,\dfrac{\pi}{4}\right)$; f) $M=\left(1,\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{x^4+2x^3+3x^2+2x+10}{x^2+x+1}$. Să se calculeze valoarea minimă a funcției $f$.

a) $3$; b) $6$; c) $11$; d) $7$; e) $9$; f) $4$.

Fie $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{1}{(1+x^2)(1+x^3)}$ și $g:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $g(x)=\int_{1/x}^{1} f(t)\,dt-\int_{1}^{x} t^3 f(t)\,dt+\ln x$. Ecuația tangentei la graficul funcției $g$ în punctul de abscisă $x=1$ este:

a) $y=\dfrac{1}{2}(x-1)$; b) $y=e(1-x)$; c) $y=x-1$; d) $y=1-x$; e) $y=e(x-1)$; f) $y=2(1-x)$.