Probleme

Fie $z$ un număr complex, $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$. Dacă $\dfrac{z}{z^2+4}$ este număr real, să se calculeze $|z|$.

a) $|z|=4$; b) $|z|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$; c) $|z|=2\sqrt{2}$; d) $|z|=\sqrt{3}$; e) $|z|=\dfrac{1}{2}$; f) $|z|=2$.

Fie polinomul $P\in\mathbb{R}[X]$, $P=aX^{2024}+bX^{2023}+2X^3+cX^2+7X-3$. Dacă $P$ este divizibil prin $X^2+1$ și restul împărțirii lui $P$ la $X+1$ este $3$, să se calculeze $P(1)$.

a) $31$; b) $15$; c) $21$; d) $-14$; e) $27$; f) $36$.

Pentru $r>0$, fie mulțimea $M=\{z\in\mathbb{C}\ ;\ |z|=1\ \text{și}\ |z-3i|=r\}$. Fie $A=\{r>0\ ;\ M\ \text{are un singur element}\}$. Să se determine suma $S$ a elementelor mulțimii $A$.

a) $S=6$; b) $S=5$; c) $S=4$; d) $S=2$; e) $S=8$; f) $S=12$.

Fie $A=\left\{\left|z^{n}+\dfrac{1}{z^{n}}\right| : n\in\mathbb{N},\ z\in\mathbb{C},\ z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1=0\right\}$. Să se determine suma pătratelor elementelor mulțimii $A$.

a) $7$; b) $5$; c) $10$; d) $9$; e) $1$; f) $4$.

Fie $M=\left\{X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\ \middle|\ X^2=\begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}\right\}$, unde $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ reprezintă mulțimea matricelor pătratice de ordinul doi, cu elemente în $\mathbb{C}$. Pentru $X\in M$, notăm cu $S(X)$ suma pătratelor elementelor matricei $X$. Să se calculeze $S=\sum\limits_{X\in M} S(X)$.

a) $S=3$; b) $S=4$; c) $S=5$; d) $S=11$; e) $S=7$; f) $S=1$.

Notăm cu $\alpha$ partea reală a unei rădăcini din $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ a polinomului $f=X^3-X^2-X-1$. Atunci:

a) $\alpha\in\left(\dfrac{1}{2},1\right)$; b) $\alpha\in\left(\dfrac{1}{9},\dfrac{1}{4}\right)$; c) $\alpha\in(-2,-1)$; d) $\alpha\in\left(-1,-\dfrac{1}{2}\right)$; e) $\alpha\in\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$; f) $\alpha\in\left(-\dfrac{1}{2},0\right)$.

Fie polinomul $f=X(X+1)^{2n+1}+(m-1)X^n$, unde $n\ge 3$ este număr natural, iar $m\in\mathbb{C}$. Să se determine $m$ astfel încât $f$ să fie divizibil cu $X^2+X+1$.

a) $m=-2$; b) $m=2i$; c) $m=18$; d) $m=2$; e) $m=4$; f) $m=-2i$.