Probleme

Fie sistemul
$$\begin{cases} mx+y-z=1 \\ x+y-z=2 \\ -x+y+z=0 \end{cases}$$
unde $m$ este un parametru real. Pentru câte valori $m\in\mathbb{Z}$ sistemul are soluție unică $(x_0,y_0,z_0)$, cu componentele numere întregi?

a) $4$; b) $3$; c) $1$; d) o infinitate; e) $2$; f) $5$.

Fie un graf neorientat cu $n$ vârfuri, pe care vrem să le împărțim în 3 mulțimi disjuncte nenule (dacă $V$ este mulțimea vârfurilor, fie $V_1, V_2, V_3$ cele trei mulțimi disjuncte, $V_1\subset V$, $V_2\subset V$, $V_3\subset V$, $V_1\cap V_2=\emptyset$, $V_1\cap V_3=\emptyset$, $V_2\cap V_3=\emptyset$). Știind că vârfurile din aceeași mulțime nu pot avea muchii între ele, care este numărul maxim de grafuri care se pot construi respectând aceste condiții pentru $n=2022$?

a) $2^{4088484}$; b) $2^{681414}$; c) $2^{2043231}$; d) $2^{1362828}$; e) $2^{4086462}$; f) $2^{2022}$.

Se consideră funcția recursivă (varianta C/C++):

int S(int n, int a, int b)
{
  if(n==0) return 0;
  else return a*n + b + S(n-1,a,b);
}

Dacă apelul $S(10,a,b)$ are ca rezultat $2045$, iar apelul $S(5,a,b)$ are ca rezultat $560$, atunci:

a) $a=1,\ b=2$; b) $a=10,\ b=5$; c) $a=1,\ b=37$; d) $a=37,\ b=1$; e) $a=37,\ b=38$; f) $a=5,\ b=10$.

Fie funcția recursivă definită prin următorul pseudocod. Care este rezultatul apelului $f(1, 3, 2022)$?

int f(int a, int b, int k)
{
    dacă (k==1) returnează a+b
    dacă (a+2>b) returnează f(a+2, b, k-1)
    returnează f(1, b+2, k-1)
}

a) $4$; b) $169$; c) $170$; d) $139$; e) $4044$; f) $140$.

Fie $v$ un tablou unidimensional sortat ce conține $n$ întregi. Un algoritm determină dacă există două elemente din $v$ a căror sumă este mai mică decât $1024$. Care este complexitatea timp minimă pe care o poate avea acest algoritm?

a) $O(n^2)$; b) $O(\log n)$; c) $O(1)$; d) $O(n)$; e) $O(2^{10})$; f) $O(n\log n)$.

Fie un graf neorientat oarecare și o submulțime de $k$ noduri ($k\ge 1$) ale acestuia. Nodurile acestei submulțimi au gradele $2^0, 2^1, \ldots, 2^{k-1}$. Toate celelalte noduri din graf sunt legate la cel puțin un nod din această submulțime. Care este numărul minim, respectiv maxim, de noduri pe care le poate avea graful, în funcție de $k$.

a) $\min=2^{k-1}+1$, $\max=2^k+k-1$; b) $\min=k$, $\max=2^k-1$; c) $\min=k+1$, $\max=2^k+k-1$; d) $\min=2^{k-1}+1$, $\max=2^{k-1}+1$; e) $\min=2^{k-1}$, $\max=2^k+k$; f) $\min=k+2$, $\max=2^{k+1}$.

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\displaystyle\int_0^1 |x-t|\,dt$. Să se calculeze $I=\displaystyle\int_{-1}^{2} f(x)\,dx$.

a) $I=\dfrac{11}{2}$; b) $I=\dfrac{8}{5}$; c) $I=\dfrac{4}{3}$; d) $I=\dfrac{1}{2}$; e) $I=\dfrac{1}{5}$; f) $I=\dfrac{7}{3}$.

Se consideră sistemul
$$\begin{cases} 2x+ay+az=1 \\ 3x+(2a-1)y+az=a \\ (a+3)x+ay+az=3a-2 \end{cases}$$
Să se afle $a\in\mathbb{R}$ astfel încât sistemul să fie compatibil nedeterminat.

a) $a=1$; b) $a=0$; c) $a=-1$; d) $a=4$; e) $a=2$; f) $a=-2$.

Să se determine numărul funcțiilor $f:\{0,1,2,\ldots,9,10\}\to\{0,1,2\}$, care au proprietatea $f(0)+f(1)+\ldots+f(10)=3$.

a) $275$; b) $444$; c) $317$; d) $255$; e) $257$; f) $313$.

Să se afle valorile parametrului real $m$ astfel încât ecuația $x^2+1=me^{-\frac{1}{x}}$ să aibă trei soluții reale distincte.

a) $m>2e$; b) $m\in(1,e)$; c) $m\in(1,e^2)$; d) $m\in(e,2e)$; e) $m<2e$; f) $m\in(0,1)$.

Fie o mulțime de $k$ simboluri cu care se pot forma șiruri distincte de lungime $n$ ($n\ge k$). Fiecare dintre cele $k$ simboluri apare în fiecare șir de $f_1, f_2, \ldots, f_k$ ori, $f_i\ge 1$, $1\le i\le k$. Pentru simbolurile $\{A, B, C\}$ care apar de $1$, $3$ și, respectiv, $2$ ori, primele $4$ șiruri generate cu metoda backtracking sunt: ABBBCC, ABBCBC, ABBCCB, ABCBBC. Care este următorul șir care va fi generat?

a) ACCBBB; b) ABCBCB; c) ABCCBB; d) ABCBBC; e) ACBBBC; f) BABCCB.

Fie un arbore cu următoarele proprietăți. Fiecare nod intern (un nod intern este orice nod care nu este o frunză) are 3 copii. Toate nivelurile arborelui sunt pline cu noduri, mai puțin ultimul, unde frunzele completează nivelul de la stânga la dreapta. Care e numărul minim, respectiv maxim, de noduri pe care le poate avea un astfel de arbore dacă înălțimea acestuia este $h$, considerând că rădăcina are nivelul $0$ și $h\ge 2$?

a) $\frac{1}{2}(3^h-1)+3$, $\frac{1}{2}(3^{h+1}-1)$; b) $3^h+3$, $3^{h+1}-1$; c) $3^h+2$, $3^{h+1}-1$; d) $\frac{1}{2}(3^h-1)+2$, $\frac{1}{2}(3^{h+1}-1)$; e) $\frac{1}{2}(3^h-1)+1$, $\frac{1}{2}(3^{h+1}-1)$; f) $3^h+1$, $3^{h+1}-1$.

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, funcția continuă care verifică relația $3f(x)+5f(-x)=4x+3$, pentru orice $x\in\mathbb{R}$. Să se determine numărul real $a$ astfel încât $\displaystyle\int_{-a}^{a} \dfrac{f(x)}{x^2+4}\,dx=\dfrac{3\pi}{32}$.

a) $a=2$; b) $a=4$; c) $a=-2$; d) $a=3$; e) $a=1$; f) $a=7$.

Fie funcția $f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{|x|e^x}{e^x-e}$. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

a) $f$ are trei puncte de extrem local; b) $f$ are două puncte de extrem local; c) $f$ are un punct de extrem local; d) imaginea funcției $f$ este $\mathbb{R}$; e) $f$ este derivabilă în $0$; f) graficul funcției $f$ are două asimptote oblice.

Fie $f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{R}$, $f(n)=n+\left[\dfrac{2022}{n}\right]$, unde prin $[x]$ notăm partea întreagă a numărului real $x$. Pentru câte valori $n\in\mathbb{N}^*$, funcția $f$ își atinge cea mai mică valoare?

a) $6$; b) $2$; c) $4$; d) $1$; e) $3$; f) $5$.

Fie o matrice cu $n$ linii și $m$ coloane. În câte moduri se poate ajunge din colțul stânga-sus (de coordonate $1$ și $1$) în cel din dreapta-jos (de coordonate $n$ și $m$), dacă ne putem deplasa, la fiecare pas, câte o poziție doar pe verticală (în sus sau jos) sau orizontală (în dreapta sau stânga), iar numărul de pași realizați trebuie să fie minim? Se știe că $n=11$ și $m=8$.

a) $524288$ moduri; b) $176$ moduri; c) $19448$ moduri; d) $131072$ moduri; e) $88$ moduri; f) $9724$ moduri.