Probleme

Fie ecuația $(x-[x])e^x=\dfrac{1}{9}$, unde prin $[x]$ s-a notat partea întreagă a numărului real $x$. Câte soluții are această ecuație în intervalul $(-5,5)$?

a) $5$; b) $9$; c) $8$; d) $6$; e) $4$; f) $7$.

Fie funcția $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2\ln x$ și punctul $M(0,-2)$. Fie

$$A=\{x_0\in(0,\infty)\mid \text{tangenta la graficul funcției } f \text{ în punctul de abscisă } x_0 \text{ trece prin } M\}.$$

Atunci:

a) $A\subset(e^2,\infty)$; b) $A\subset(\sqrt{e},e)$; c) $A\subset(0,1)$; d) $A\subset(e\sqrt{e},e^2)$; e) $A\subset(1,\sqrt{e})$; f) $A\subset(e,e\sqrt{e})$.

Se dau $m_1$ greutăți de $k_1$ kg fiecare și $m_2$ greutăți de $k_2$ kg fiecare. Cel mai bun candidat la un concurs a scris un program corect care stabilește modurile în care poate fi echilibrată o balanță având pe talerul din stânga o greutate $X$ dată și afișează numărul de soluții posibile. Greutățile pot fi puse pe ambele talere. Programul citește la rulare numerele naturale $m_1$ $k_1$ $m_2$ $k_2$ $X$ în această ordine. Ce afișează programul pentru trei rulări succesive: rulare 1: 5 2 5 1 4, rulare 2: 5 2 5 1 11, rulare 3: 5 2 5 1 20?

a) 10 5 0; b) 20 7 0; c) 20 7 1; d) 10 10 0; e) 10 7 0; f) 20 5 0.

Să se calculeze $l=\lim_{\alpha\to\infty}\displaystyle\int_0^{\alpha}\dfrac{2x+1}{x^4+2x^3+3x^2+2x+2}\,dx$.

a) $l=\dfrac{\pi}{3}$; b) $l=\operatorname{arctg} 2$; c) $l=\dfrac{\pi}{2}$; d) $l=\operatorname{arctg}\dfrac{1}{3}$; e) $l=\operatorname{arctg} 3$; f) $l=\dfrac{\pi}{4}$.

Se consideră șirul $1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6$. În câte moduri se pot aranja elementele șirului astfel încât în șirurile rezultate niciunul dintre elemente să nu se afle pe poziția sa inițială?

a) $\dfrac{6!}{1!}-\dfrac{6!}{2!}+\dfrac{6!}{3!}-\dfrac{6!}{4!}+\dfrac{6!}{5!}-\dfrac{6!}{6!}$; b) $6!$; c) $\dfrac{6!}{0!}-\dfrac{6!}{1!}+\dfrac{6!}{2!}-\dfrac{6!}{3!}+\dfrac{6!}{4!}-\dfrac{6!}{5!}+\dfrac{6!}{6!}$; d) $\dfrac{6!}{1!}+\dfrac{6!}{2!}-\dfrac{6!}{3!}+\dfrac{6!}{4!}-\dfrac{6!}{5!}+\dfrac{6!}{6!}$; e) $6!-5!$; f) $6!-4!$.

Fie $f(n)$ și $g(n)$ două funcții oarecare, unde $n$ este număr natural. Considerăm $x$ și $y$ două numere naturale nenule și definim următoarele recurențe:

$$a_0 = 0,\ a_1 = 1,\ a_{n+2} = a_{n+1} + a_n + f(n)$$
$$b_0 = 0,\ b_1 = 1,\ b_{n+2} = b_{n+1} + b_n + g(n)$$
$$c_0 = 0,\ c_1 = 1,\ c_{n+2} = c_{n+1} + c_n + x\cdot f(n) + y\cdot g(n)$$

Cum se poate exprima $c_n$ în funcție de $x$, $y$, $a_n$, $b_n$ și $F_n$, unde $F_n$ este elementul $n$ al șirului lui Fibonacci, care este definit astfel: $F_0=0$, $F_1=1$, $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$?

a) $c_n = x\cdot a_n + y\cdot b_n + (1-x-y)\cdot F_n$; b) $c_n = x\cdot a_n + y\cdot b_n + (1+x+y)\cdot F_n$; c) $c_n = x\cdot a_n + y\cdot b_n + (x+y)\cdot F_n$; d) $c_n = x\cdot a_n + y\cdot b_n + F_n$; e) $c_n = a_n + b_n + (1-x-y)\cdot F_n$; f) $c_n = a_n + b_n + (x+y)\cdot F_n$.

Fie o matrice $M$ cu elemente numere întregi. Valorile $M(i,j)$, $i\ge 0$, $j\ge 0$ se calculează folosind relația recursivă:

$$M(i,j) = \begin{cases} C, & \text{pentru } i=0 \text{ și } j=0 \\ M(i-1,0)+1, & \text{pentru } i>0 \text{ și } j=0 \\ M(0,j-1)+1, & \text{pentru } i=0 \text{ și } j>0 \\ \min(M(i-1,j), M(i,j-1))+1, & \text{pentru } i>0 \text{ și } j>0 \end{cases}$$

unde $C$ este un număr întreg. Dacă $M(2022,2023) = 5045$, care este valoarea lui $C$?

a) $1000$; b) $1024$; c) $2022$; d) $2023$; e) $3022$; f) $3023$.

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{x^2+ax+b}{\sqrt{x^2+1}}$, unde $a,b$ sunt numere reale. Presupunem că funcția $f$ admite trei puncte de extrem local și are asimptota $y=x+2$. Atunci

a) $a+b>7$; b) $a+b\in(6,7)$; c) $a+b\in(5,6)$; d) $ab\in(6,7)$; e) $ab=6$; f) $ab=\dfrac{1}{4}$.

Fie $a$ și $b$ două variabile de tip întreg inițializate cu valorile $0$, respectiv $111$. Indicați valorile variabilelor $a$ și $b$ în urma apelului $f(a,b)$. Subprogramul $f$ este definit mai jos:

(varianta C/C++)

int f(int& a, int b)
{
    int r = 0;
    if (b > 0)
        r = b + f(a, b - 2);
    a += r;
    return 0;
}

a) $3136, 111$; b) $0, 111$; c) $3136, 0$; d) $6105, 111$; e) $2969, 111$; f) $3080, 111$.

Să se determine suma pătratelor soluțiilor reale ale ecuației $\sqrt[3]{5x-2}=\dfrac{1}{5}(x^3+2)$.

a) $14$; b) $10$; c) $9$; d) $17$; e) $4$; f) $11$.

Fie un graf neorientat cu $n$ noduri, numerotate de la $1$ la $n$. Există muchie între $i$ și $j$ dacă și numai dacă $j$ divide pe $i$ ($1\le i\le n$, $1<j<i$). Câte componente conexe are graful pentru $n=50$?

a) $8$; b) $6$; c) $5$; d) $7$; e) $2$; f) $1$.

Fie polinomul $P\in\mathbb{R}[X]$, $P=aX^{2024}+bX^{2023}+2X^3+cX^2+7X-3$. Dacă $P$ este divizibil prin $X^2+1$ și restul împărțirii lui $P$ la $X+1$ este $3$, să se calculeze $P(1)$.

a) $31$; b) $15$; c) $21$; d) $-14$; e) $27$; f) $36$.

Se consideră funcția recursivă următoare, unde literele $x$ și $y$ sunt două numere naturale:

(varianta C/C++)

int f(int a, int b)
{
    if (a == b)
        return 0;
    if (b % a == 0)
        return a + b;
    return f(a + x, b - y);
}

Pentru care perechi de numere naturale $x$ și $y$ de mai jos, din intervalul $[1,25]$, rezultatul apelului $f(1000,2004)$ este $0$, iar numărul de apeluri recursive este maxim $300$?

a) $(x=16,y=20)$; $(x=17,y=21)$; $(x=18,y=22)$; b) $(x=1,y=1)$; $(x=2,y=2)$; $(x=3,y=1)$; c) $(x=1,y=3)$; $(x=20,y=24)$; $(x=21,y=25)$; d) $(x=13,y=17)$; $(x=14,y=18)$; $(x=15,y=19)$; e) $(x=1,y=3)$; $(x=2,y=2)$; $(x=3,y=1)$; f) $(x=6,y=10)$; $(x=7,y=11)$; $(x=9,y=13)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție: $x*y=2xy-10x-10y+55$. Să se determine suma soluțiilor reale ale ecuației

$$\underbrace{x*x*\cdots*x}_{\text{de } 2024 \text{ ori } x}=\dfrac{11}{2}.$$

a) $10$; b) $14$; c) $12$; d) $9$; e) $11$; f) $13$.

Fie numerele naturale nenule $n, a, m_1, m_2, m_3$. Un program generează mulțimea $M$ astfel: a) $a\in M$; b) dacă $x\in M$ atunci $m_1\cdot x\in M$, $m_2\cdot x\in M$ și $m_3\cdot x\in M$. Mulțimea $M$ este ordonată crescător. Programul afișează al $n$-lea element din mulțime. Ce se afișează pentru execuția programului cu datele de intrare $8\ 1\ 2\ 3\ 4$?

a) $9$; b) $16$; c) $10$; d) $8$; e) $12$; f) $14$.

Fie $f:(1,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(y)=\displaystyle\int_0^y \dfrac{1}{x^2-2x+y}\,dx$. Calculați $\displaystyle\int_2^{10} f(y)\,dy$.

a) $3\pi$; b) $2\pi$; c) $\dfrac{5\pi}{3}$; d) $\pi$; e) $\dfrac{\pi}{2}$; f) $\dfrac{3\pi}{2}$.