Probleme

Să se calculeze $I=\int_{-2}^{2}\dfrac{1}{(x^2+4)(3^x+1)}\,dx$.

a) $I=\dfrac{\pi}{3}$; b) $I=0$; c) $I=\dfrac{\pi}{20}$; d) $I=\dfrac{\pi}{4}$; e) $I=\dfrac{\pi}{10}$; f) $I=\dfrac{\pi}{8}$.

Comparați numerele $a=2024^{\sqrt{2022}}$, $b=2023^{\sqrt{2023}}$ și $c=2022^{\sqrt{2024}}$.

a) $c<b<a$; b) $b<c<a$; c) $c<a<b$; d) $a<b<c$; e) $a<c<b$; f) $b<a<c$.

Fie funcția dată prin următorul pseudocod (% reprezintă restul împărțirii întregi). Care dintre următoarele apeluri au ca rezultat numai valori pare?

intreg f(intreg n, intreg y) {
  dacă (n > 0)
    dacă (n % 2 == 0) returnează f(n - 1, y + 1) + y;
    altfel returnează f(n - 1, y + 1);
  altfel returnează 0;
}

a) f(117, 200), f(222, 300), f(322, 485), f(422, 653); b) f(116, 100), f(220, 181), f(321, 281), f(420, 551); c) f(117, 130), f(222, 461), f(323, 771), f(422, 891); d) f(117, 240), f(222, 480), f(322, 795), f(422, 833); e) f(116, 150), f(222, 81), f(321, 331), f(420, 671); f) f(118, 241), f(222, 291), f(322, 481), f(422, 451).

Fie matricea $A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & -3 \\ 3 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$. Atunci suma modulelor elementelor de pe diagonala principală a matricei $A^{59}$ este:

a) $30799$; b) $30789$; c) $30790$; d) $30800$; e) $30795$; f) $30788$.

Se dă o matrice cu 3 linii și 3 coloane. Pornim din celula de start (1,1) și vrem să ajungem în celula destinație (3,3), respectând următoarele reguli. Din orice celulă (i,j) ne putem deplasa înainte către orice altă celulă (x,y), cu i<=x, j<=y și perechea (i,j) diferită de perechea (x,y). Pe parcursul deplasării se acceptă să ne întoarcem cel mult o dată dintr-o celulă (i,j) către orice altă celulă (x,y), cu x<=i, y<=j, iar perechea (i,j) este diferită de perechea (x,y). De exemplu, din celula (2,2) putem merge înainte către (2,3), (3,2) sau (3,3), și ne putem întoarce la (1,2), (2,1) sau (1,1). Putem alege să ne întoarcem inclusiv când ajungem în celula (3,3). În câte feluri putem ajunge din celula start către cea destinație?

a) 1024; b) 700; c) 2096; d) 2418; e) 2048; f) 260.

Fie funcția $f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x\cdot e^{1/x}$. Care dintre următoarele afirmații este falsă?

a) ecuația $f(x)=3$ are două soluții reale distincte; b) ecuația $f(x)=-1$ are o singură soluție reală; c) funcția $f$ are două puncte de inflexiune; d) graficul funcției $f$ are asimptotă oblică; e) funcția $f$ are un singur punct de extrem local; f) graficul funcției $f$ are o singură asimptotă verticală.

În câte moduri se poate colora următorul graf neorientat folosind 4 culori astfel încât 2 noduri adiacente să nu aibă aceeași culoare? [Figura: graf cu 8 noduri — patru noduri în colțurile unui pătrat exterior și patru noduri în colțurile unui pătrat interior. Muchii: cele 4 laturi ale pătratului exterior, cele 4 laturi ale pătratului interior, cele 4 muchii care leagă fiecare colț exterior de colțul interior corespunzător și cele 2 diagonale ale pătratului interior (X-ul din centru). În total 14 muchii.]

a) 288; b) 696; c) 625; d) 24!; e) 120; f) 24.

Fie mulțimea $M=\{1,2,3,4,5,6,7\}$. Să se determine numărul submulțimilor $S$ ale mulțimii $M$ cu proprietatea că există elementele $a$, $b$, $c$ ale mulțimii $M$ astfel încât $a<b<c$, cu $a\in S$, $b\notin S$ și $c\in S$.

a) $96$; b) $106$; c) $100$; d) $78$; e) $87$; f) $99$.

Se dau n obiecte (n e întreg pozitiv sau 0) ale căror mase și valori sunt stocate în tablourile unidimensionale de întregi m și, respectiv, v (primul element al tablourilor se găsește pe poziția 0). Într-un rucsac se pot transporta obiecte întregi cu masa însumată maxim C (întreg pozitiv sau 0). Trebuie identificată valoarea maximă ce poate să fie obținută prin adăugarea de obiecte în rucsac, astfel încât masa lor să nu depășească C. Procedura descrisă în pseudocod mai jos conține implementarea algoritmului backtracking care returnează soluția. Este considerată dată funcția max care primește 2 parametri întregi și returnează valoarea maximă dintre aceștia. Funcția se apelează cu parametrii: valoare pentru întreg C, tablourile m și v, valoare pentru n și un număr de obiecte. Completați cu secvența lipsă:

întreg bk(întreg C, întreg m[], întreg v[], întreg n)
    dacă (n = 0 sau C = 0)  returnează 0;
    dacă (m[n-1] > C)
        returnează bk(C, m, v, n-1);
    altfel
        returnează ______

a) max(v[n-1]+bk(C-m[n-1], m, v, n), bk(C, m, v, n)); b) max(v[n]+bk(C-m[n], m, v, n-1), bk(C, m, v, n-1)); c) max(v[n-1]+bk(C-m[n-1], m, v, n-1), bk(C, m, v, n-1)); d) max(bk(C-m[n-1], m, v, n-1), bk(C, m, v, n-1)); e) max(v[n]+bk(C-m[n], m, v, n), bk(C, m, v, n)); f) max(bk(C, m, v, n-1), bk(C, m, v, n-2)).

Un graf de tip scară are 2n noduri și este reprezentat ca în figură. [Figura: graf „scară" — nodurile x1,…,xn pe un rând, y1,…,yn pe rândul de jos; muchii: xi—x(i+1), yi—y(i+1) pentru 1≤i<n și xi—yi pentru 1≤i≤n.] Dacă n=11, în câte moduri putem alege n dintre muchiile acestuia, astfel încât oricare două dintre ele să nu aibă capete comune?

a) 377; b) 55; c) 75; d) 98; e) 144; f) 110.

Fie un tablou bidimensional M cu l linii și c coloane și un întreg pozitiv k. Valorile pentru elementele din tablou se calculează astfel: M[i][j]=(i+j) mod k, unde x mod y calculează restul împărțirii lui x la y, iar 0<=i<l, 0<=j<c. Câte perechi de elemente care au produsul egal cu suma se găsesc în M? Considerați că l=c=24 și k=6.

a) 9120; b) 384; c) 13824; d) 6912; e) 768; f) 4560.

Definim un tip înregistrare pentru reținerea unei fracții de forma a/b unde a este numărătorul și b este numitorul.

typedef struct fractie { int a, b; } Fractie;

Fie un vector care reține 31 de fracții în care primul element este pe poziția 0 și reține fracția 1/1. Definim restul elementelor din vector după următoarele formule, unde i>=0:

v[2*i+1].a = v[i].a;
v[2*i+1].b = v[i].a + v[i].b;
v[2*i+2].a = v[i].a + v[i].b;
v[2*i+2].b = v[i].b;

Ce fracție va reține elementul de pe poziția 9 din vector (adică v[9])?

a) 5/3; b) 5/2; c) 3/5; d) 7/4; e) 2/7; f) 4/3.

Aflați valorile lui $m\in\mathbb{R}$ pentru care ecuația $1-2x-2x^2=me^{2x}$ admite trei soluții reale distincte.

a) $m\in\left(-\dfrac{3}{e^2},0\right)$; b) $m\in\left(-\infty,-\dfrac{3}{e^2}\right)$; c) $m\in\left(\dfrac{1}{e},1\right)$; d) $m\in(e,\infty)$; e) $m\in(1,e)$; f) $m\in\left(0,\dfrac{1}{e}\right)$.

Să se afle $m\in\mathbb{R}$ astfel încât ecuația $x+1=m\cdot e^{|1-x|}$ să aibă două soluții reale distincte.

a) $m\in(0,2)$; b) $m\in\left(-\dfrac{1}{e^3},2\right)$; c) $m\in\left(-\dfrac{1}{e^2},0\right)\cup(0,1)$; d) $m\in(-e^3,1)\cup(1,2)$; e) $m\in\left(-\dfrac{1}{e^3},0\right)\cup(0,2)$; f) $m\in(0,1)$.

În urma apelului f(5) se afișează un șir de cifre. Care sunt cifrele de pe pozițiile 14-17, prima poziție fiind numerotată cu 1?

void f(int n)
{
  int i;
  for (i=n; i>=1; i-=2) {
    f(n-1);
    printf("%d", n); // cout << n;
  }
}

a) 2341; b) 4123; c) 4512; d) 1234; e) 1231; f) 2345.

Fie matricea $A=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$. Dacă $X(a)=I_2+aA$, $a\in\mathbb{R}$, să se determine numărul real $t$, știind că $X(2^t)=X(1)\cdot X\left(\dfrac{1}{2}\right)\cdot X\left(\dfrac{1}{3}\right)\cdot\ldots\cdot X\left(\dfrac{1}{1024}\right)$.

a) $t=7$; b) $t=14$; c) $t=-5$; d) $t=10$; e) $t=-7$; f) $t=9$.

Care este rezultatul întors de funcția scrisă mai jos în pseudocod, dacă este apelată cu valoarea 3 pentru parametrul a întreg și 10 pentru parametrul n întreg? S-a notat cu a%b restul împărțirii numărului natural a la numărul natural nenul b și cu [a] partea întreagă a numărului real a.

întreg f(întreg a, întreg n) {
    dacă (n == 0) returnează 1;
    altfel dacă (n%2 == 0) returnează f(a, n/2)*f(a, n/2);
    altfel returnează a*f(a, [n/2])*f(a, [n/2]);
}

a) 39366; b) 243; c) 486; d) 177147; e) 59049; f) 19683.

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, o funcție continuă astfel încât $f(3x)=9f(x)$, pentru orice $x\in\mathbb{R}$. Știind că $\int_0^1 f(x)\,dx=1$, să se calculeze $\int_1^3 f(x)\,dx$.

a) $28$; b) $18$; c) $26$; d) $20$; e) $24$; f) $15$.

Următoarea secvență de cod generează, folosind cifre de la 0 la 5, numere de 5 cifre. Primul șir afișat este 00000. La un moment dat se afișează 11521. La al câtelea apel al funcției genereaza se întâmplă acest lucru?

void genereaza(char* nr, int p) {
  if (p == 5) {
    nr[p] = '\0';
    printf("%s\n", nr); // cout<<nr<<endl;
    return;
  }
  for (int cifra = 0; cifra <= 5; cifra++) {
    nr[p] = '0' + cifra;
    genereaza(nr, p + 1);
  }
}
int main() {
  char nr[6];
  genereaza(nr, 0);
  return 0;
}

a) 2024; b) 1701; c) 1704; d) 2050; e) 1706; f) 2048.

Fie polinomul $f=(X+1)^{2024}+3X+5$. Să se determine restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g=X^2+3X+3$.

a) $X+3$; b) $3X+5$; c) $3X+3$; d) $2X-3$; e) $X+1$; f) $2X+3$.

Se consideră o hartă sub forma unei matrice 4x4. Dacă cineva pleacă de pe poziția (1,1) și vrea să ajungă în celula (4,4), se poate muta doar pe linii sau coloane cu numere mai mari și poate sări oricât de multe în ambele direcții, deci poate ajunge inclusiv direct din (1,1) în (4,4). În câte moduri distincte poate face acest lucru?

a) 76; b) 128; c) 256; d) 63; e) 252; f) 64.

Dacă $a$, $b$ și $c$ sunt numere reale nenule astfel încât $a+b+c=2$ și $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}$, să se calculeze $a^3+b^3+c^3$.

a) $8$; b) $6$; c) $14$; d) $25$; e) $19$; f) $27$.

Fie un arbore cu 10 noduri, numerotate de la 1 la 10 și vectorul său de tați v={0,1,1,2,2,3,3,x,y,z}. Câți vectori de tați valizi și distincți se pot forma dând valori lui x, y și z?

a) 700; b) 567; c) 720; d) 686; e) 729; f) 648.

Fie funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, cu $f(0)=-2$, care admite primitiva $F$. Dacă $f(x)+2F(x)=3$, pentru orice $x\in\mathbb{R}$, să se calculeze $f(-1)$.

a) $2e^2$; b) $e^2$; c) $-4e^3$; d) $-2e^2$; e) $-e^3$; f) $2e^{-2}$.