Probleme

Să se determine mulțimea valorilor parametrului real $m$ pentru care matricea $\begin{pmatrix} 2 & x & 3 \\ m & x-1 & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}$ are rangul trei pentru orice $x<0$.

a) $\left(\dfrac{2}{3},1\right)$; b) $\left(\dfrac{5}{3},2\right]$; c) $\left(\dfrac{1}{2},2\right)$; d) $\left[-1,\dfrac{4}{3}\right]\cup\{2\}$; e) $\left[-\dfrac{1}{3},2\right]$; f) $\left(\dfrac{1}{3},1\right)$.

Pentru $n\in\mathbb{N}^*$ se consideră numerele nenule $a_1,a_2,\ldots,a_{2n}$ în progresie geometrică astfel încât suma lor este $4$ ori mai mare decât suma termenilor de rang par. Atunci rația este:

a) $3$; b) $\dfrac{2}{5}$; c) $\dfrac{1}{2}$; d) $\dfrac{1}{3}$; e) $6$; f) $1$.

Care este valoarea maximă a sumei $a+b$ care se calculează în ultima instrucțiune din funcția h la cel mai adânc nivel al recursivității, pentru apelul h(0, 2026)?

(varianta C/C++)

void h(int a, int b) {
    int m;
    if(a > b) return;
    m = (a + b)/2;
    printf("%d", m % 10); // cout<<m % 10;
    h(a, m - 1);
    h(m + 1, b);
    printf("%d", (a + b) % 10); // cout<<(a + b) % 10;
}

a) $2025$; b) $6$; c) $1013$; d) $2026$; e) $506$; f) $4052$.

Considerăm $G$ un graf neorientat cu $2026$ de noduri și $2000$ de muchii. Fie $m$ numărul minim de componente conexe și $M$ numărul maxim de componente conexe pentru un graf cu proprietățile lui $G$. Ce valoare are $M-m$?

a) $1925$; b) nu se poate calcula; c) $63$; d) $1937$; e) $199$; f) $1999$.

Să se calculeze $l=\displaystyle\lim_{x\to\pi}\dfrac{\int_0^{\sin x} e^{t^2}\,dt}{\int_0^{\operatorname{tg} x} e^{t^2}\,dt}$.

a) $l=0$; b) $l=\infty$; c) $l=-1$; d) $l=1$; e) $l=-\infty$; f) $l=2$.

Fie următorul algoritm în pseudocod, unde determinareMaxim este o funcție care determină elementul cu valoare maximă dintr-un tablou unidimensional cu $n$ elemente denumit vect. Toate tablourile folosite în acest algoritm sunt unidimensionale și vor fi indexate de la $0$. Tabloul t1 are $10$ elemente, t2 are $n$ elemente. Atât t1 cât și t2 sunt inițializate cu valori de $0$.

max <- determinareMaxim(vect, n)
pentru i <- 0, n-1, pas=1 executa
|   t1[vect[i]] <- t1[vect[i]] + 1
|_
pentru i <- 1, max, pas=1 executa
|   t1[i] <- t1[i] + t1[i - 1]
|_
pentru i <- n - 1, 0, pas=-1 executa
|   t2[t1[vect[i]] - 1] <- vect[i]
|   t1[vect[i]] <- t1[vect[i]] - 1
|_
pentru i <- 0, n - 1, pas=1 executa
|   vect[i] <- t2[n - i - 1]
|_

Ce valoare are elementul cu indexul $2026$ din vect, după aplicarea algoritmului, dacă n are valoarea $4000$, iar tabloul vect a fost inițializat (înainte de aplicarea algoritmului propus) folosind vect[i] = i % 10, unde x % y reprezintă restul împărțirii lui x la y?

a) $5$; b) $4$; c) $9$; d) $3$; e) $6$; f) $7$.

Să se determine suma pătratelor soluțiilor ecuației $\min\left\{1,x+2,\dfrac{5+4x}{7}\right\}=\dfrac{2x+1}{3}$, $x\in\mathbb{R}$.

a) $26$; b) $22$; c) $24$; d) $1$; e) $25$; f) $42$.

Fie o matrice de $n$ linii și $n$ coloane. Un număr de elemente $k \ge 1$ din matrice sunt impare, restul fiind pare. Câte submulțimi nevide cu elemente putem construi, astfel încât suma elementelor unei submulțimi să fie pară, dacă $n=4$ și $k=2$?

a) $512$; b) $32768$; c) $16384$; d) $16$; e) $256$; f) $32767$.

Două numere naturale distincte, fiecare având exact $3$ cifre, sunt considerate partenere dacă primele două cifre ale primului număr sunt egale cu ultimele două cifre ale celui de-al doilea număr, în aceeași ordine. Indicați numărul perechilor de numere partenere cu exact $3$ cifre în care primul număr din pereche este strict mai mic decât al doilea.

a) $8100$; b) $3996$; c) $4104$; d) $4005$; e) $8091$; f) $4095$.

Fie $z$ un număr complex, $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$. Dacă $\dfrac{z}{z^2+4}$ este număr real, să se calculeze $|z|$.

a) $|z|=4$; b) $|z|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$; c) $|z|=2\sqrt{2}$; d) $|z|=\sqrt{3}$; e) $|z|=\dfrac{1}{2}$; f) $|z|=2$.

Fie următoarea funcție definită în pseudocod, unde x % y reprezintă restul împărțirii lui x la y. Care este rezultatul apelului f(1234567, 0)?

intreg f(intreg n, intreg k) {
    daca (n == 0) returneaza 1;
    rez <- f(n / 10, k);
    daca ((k % 10 - n % 10) != 1)
        rez <- rez + f(n / 10, k * 10 + n % 10);
    returneaza rez;
}

a) $7$; b) $128$; c) $14$; d) $64$; e) $10$; f) $34$.

Fie funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=e^{-x}(x^2+ax+5)$. Mulțimea valorilor parametrului real $a$ pentru care funcția $f$ are un maxim local și un minim local este:

a) $(-\infty,-4)\cup(4,\infty)$; b) $(-2,2)$; c) $(4,\infty)$; d) $(-3,-2)$; e) $(-\infty,-4)$; f) $(-4,4)$.

Fie șirul lui Fibonacci $(F_n)_{n\ge 0}$: $F_0=0$, $F_1=1$, iar pentru $n\ge 2$: $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$. Fie funcția recursivă $f:\mathbb{N}\to\mathbb{Z}$ definită prin $f(0)=0$, $f(1)=1$, iar pentru $n\ge 2$: $f(n)=f(n-1)+(-1)^n\cdot F_{(n \bmod 5)+1}$ (unde mod este restul împărțirii întregi). Ce valoare are $f(2026)$?

a) $5$; b) $4$; c) $0$; d) $8$; e) $-5$; f) $1$.

Fie un șir S format din literele a și b, grupate ca blocuri consecutive după următoarea regulă: 4 de a, apoi 7 de b, apoi 5 de a, apoi 6 de b, apoi 8 de a, apoi 4 de b, apoi 6 de a, apoi 9 de b, adică șirul format după regula descrisă arată astfel: S = aaaabbbbbbbaaaaabbbbbbaaaaaaaabbbbaaaaaabbbbbbbbb. Un subșir al lui S este numit valid dacă conține același număr de caractere a și b și toate caracterele a sunt consecutive și toate caracterele b sunt consecutive (de exemplu subșirurile de forma aaaabbbb, bbbbaaaa, aaabbb, ab, etc. sunt valide). Câte subșiruri valide sunt în S?

a) $34$; b) $34!$; c) $26$; d) $2^{17}$; e) $17$; f) $37$.

Fie $\mathcal{F}$ mulțimea funcțiilor $f:[0,1]\to\mathbb{R}$, continue pe $[0,1]$ și de două ori derivabile pe $(0,1)$, astfel încât $f(0)=f(1)=0$ și $f''(x)\ge -2$, pentru orice $x\in(0,1)$. Să se determine valoarea maximă a integralei $\int_0^1 f(x)\,dx$, atunci când $f\in\mathcal{F}$.

a) $\dfrac{1}{4}$; b) $1$; c) $\dfrac{1}{6}$; d) $\dfrac{1}{2}$; e) $\dfrac{1}{3}$; f) $\dfrac{1}{8}$.

Considerăm un graf neorientat complet cu nodurile $\{1,2,\dots,10\}$. Alegem exact $9$ muchii astfel încât subgraful format are următoarele proprietăți: (1) este conex; (2) nu conține niciun ciclu; și (3) nodurile $1$, $2$, $3$ și $4$ au gradul $1$ în subgraful format. Câte astfel de alegeri distincte putem face pentru ca subgraful rezultat să îndeplinească toate cele trei condiții?

a) $6^8$; b) $4!\cdot 6^4$; c) $10^8$; d) $7^8$; e) $10\cdot 6^7$; f) $6^7$.

Fie funcția $f:\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\operatorname{arctg}\dfrac{1}{x^2-1}$. Care dintre următoarele afirmații nu este adevărată?

a) $f$ are două puncte de inflexiune; b) $f$ este funcție pară; c) $f$ are asimptotă verticală; d) $f$ este funcție mărginită; e) $f$ are asimptotă orizontală; f) $f$ are un punct de maxim local.

Fie matricea $A=\begin{pmatrix} 1 & 2025 & 2 \\ 2024 & 2 & 2024 \\ 2 & 2025 & 3 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$. Valoarea raportului $\dfrac{\det(A^{2025})}{\det(A^{2024})}$ este egală cu:

a) $2025\cdot 2024$; b) $2025$; c) $\dfrac{2025}{2024}$; d) $1$; e) $-2$; f) $0$.

Să se determine coeficientul lui $x^6$ din dezvoltarea $(1+x+x^3)^6$.

a) $70$; b) $75$; c) $78$; d) $79$; e) $76$; f) $80$.

Fie $a,b,c,d\in\mathbb{N}^*$ astfel încât $\log_a b=\dfrac{4}{3}$ și $\log_c d=\dfrac{5}{6}$. Dacă $c-a=37$, atunci $b-d$ este:

a) $49$; b) $56$; c) $38$; d) $52$; e) $42$; f) $64$.

Fie secvența de program de mai jos, unde $n$ și $i$ sunt variabile de tip întreg, iar $a$ și $b$ sunt două tablouri unidimensionale (vectori) de întregi. Dacă $n=6$ și $a=(2,1,5,3,4,6)$, $b=(1,3,5,2,4,6)$, atunci, după rularea secvenței de mai jos, cele două variabile $a$ și $b$ vor fi:

(varianta C/C++)

for(i=0;i<n;i++) a[i]=a[b[n-i-1]-1];
for(i=0;i<n;i++) b[n-i-1]=b[a[i]-1];

a) a=(6,3,3,4,3,6), b=(6,5,5,5,5,6); b) a=(1,2,3,4,5,6), b=(6,5,4,3,2,1); c) a=(1,2,3,4,5,6), b=(1,2,3,4,5,6); d) a=(6,5,4,3,2,1), b=(6,5,4,3,2,1); e) a=(2,1,5,3,4,6), b=(1,3,5,2,4,6); f) a=(1,3,5,2,4,6), b=(2,1,5,3,4,6).

Fie următoarea afirmație: „Orice graf pentru care 2 este numărul minim de culori este un graf bipartit sau este un graf eulerian.”; unde numărul minim de culori al unui graf reprezintă numărul cel mai mic de culori necesare pentru a colora vârfurile grafului astfel încât două vârfuri adiacente să nu aibă aceeași culoare. Câte dintre următoarele grafuri reprezintă un contra-exemplu pentru această afirmație?

[Graf 1: noduri D, A, B, C; muchii D—A, D—B, D—C, A—B, A—C, B—C.]

[Graf 2: noduri A, B, C, D, E, F; muchii A—B, A—D, B—C, C—D, D—E, C—E; nodul F este izolat (fără muchii).]

[Graf 3: noduri A, B, C; muchii A—B, A—C, B—C.]

[Graf 4: noduri A, B, C, D, E, F; muchii A—D, A—E, B—D, B—E, B—F, C—E, C—F.]

[Graf 5: noduri A, B, C, F, G; muchii A—B, A—C, C—F, C—G.]

a) 5; b) 0; c) 3; d) 2; e) 4; f) 1.

Aflați valorile lui $m\in\mathbb{R}$ pentru care ecuația $xe^x-me^x+1=0$ admite două soluții reale distincte.

a) $m\in(1,\infty)$; b) $m\in\left(-\dfrac{1}{2},0\right)$; c) $m\in\left(\dfrac{1}{2},1\right)$; d) $m\in(-\infty,-1)$; e) $m\in\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$; f) $m\in\left(-1,-\dfrac{1}{2}\right)$.

Numărul de elemente ale mulțimii $M=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} : |x|+|y|<100\}$ este egal cu:

a) $19801$; b) $19803$; c) $19798$; d) $19800$; e) $19802$; f) $19799$.

Folosim metoda backtracking pentru a genera numere naturale în ordine crescătoare utilizând cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5 și 6. Primele 10 numere generate sunt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12. Care este al 256-lea număr generat?

a) 513; b) 501; c) 555; d) 466; e) 444; f) 503.

Fie următoarea funcție recursivă definită prin pseudocod. Câte apeluri ale funcției se realizează pentru a calcula func(20, 2025)?

intreg func(intreg x, intreg n) {
    daca x < 2 atunci
        intoarce n;
    intoarce func(x-2, n+2) + 2*func(x-4, n-1);
}

a) 2024; b) 1706; c) 144; d) 89; e) 2025; f) 287.

Fie funcțiile $f,g:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=\operatorname{arctg}\sqrt{x}$ și $g(x)=\dfrac{1}{4}(\pi+\ln x)$. Dacă tangenta comună într-un punct comun al graficelor funcțiilor $f$ și $g$ intersectează axa $Ox$ în punctul $P(\alpha,0)$, atunci $\alpha$ este:

a) $\pi$; b) $1$; c) $1-\pi$; d) $1+\pi$; e) $\dfrac{\pi}{2}+1$; f) $0$.

La un festival de dans participă $n$ fete și $m$ băieți. Pentru demonstrațiile de dans planificate se formează $k$ perechi, alcătuite fiecare dintr-o fată și un băiat. Să se calculeze toate posibilitățile de formare a perechilor, dacă $n=7$, $m=5$, $k=3$.

a) 2100; b) 35; c) 60; d) 210; e) 2880; f) 700.

Fie sistemul de ecuații liniare
$$\begin{cases} 2mx+y+(m+1)z=2m+1 \\ (m+2)x+(m+1)y+(m+2)z=2 \\ 3mx+y+(2m+1)z=1 \end{cases}$$
unde $m$ este un parametru real. Notăm cu $A$ mulțimea valorilor lui $m$ pentru care sistemul este incompatibil. Atunci:

a) $A=\{0;1\}$; b) $A=\{1;2\}$; c) $A=\{-1;0;1\}$; d) $A=\{-1;1\}$; e) $A=\{-2;-1\}$; f) $A=\{-2;0;1\}$.

Valoarea limitei $\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^4}\int_{x^2}^{2x^2}\dfrac{t}{\sqrt{t^2+9}}\,dt$ este:

a) $2$; b) $1$; c) $0$; d) $\infty$; e) $\dfrac{1}{2}$; f) $-1$.

Fie $x_1$, $x_2$, $x_3$ rădăcinile polinomului $f=X^3+mX+6$, unde $m<0$. Dacă $x_1^4+x_2^4+x_3^4=98$, să se calculeze $|x_1|+|x_2|+|x_3|$.

a) $6$; b) $2$; c) $4$; d) $0$; e) $5$; f) $3$.

Considerăm șirul lui Fibonacci unde $fib(0)=0$, $fib(1)=1$ și $fib(k)=fib(k-1)+fib(k-2)$, pentru orice $k>1$, natural. Se construiește un arbore definit în funcție de numărul de nivele, rădăcina se află pe nivelul 1, și fiecare nod de pe nivelul $h$ are $fib(h+2)$ copii. Calculăm $N$ ca fiind numărul de noduri pentru un astfel de arbore cu 10 nivele. Pentru că numărul $N$ este destul de mare, se cere $N \bmod 13$ (restul împărțirii lui $N$ la 13).

a) 7; b) 3; c) 8; d) 4; e) 11; f) 6.

Să se determine numărul soluțiilor reale ale ecuației $\left[\dfrac{2x-1}{3}\right]+\left[\dfrac{4x+1}{6}\right]=\dfrac{5x-4}{3}$, unde prin $[a]$ notăm partea întreagă a numărului real $a$.

a) $5$; b) $9$; c) $10$; d) $8$; e) $6$; f) $7$.

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ o funcție derivabilă, astfel încât $x^2+2\int_0^x t\cdot f(t)\,dt+2=(x^2+1)\cdot f(x)+\ln 2$, $(\forall)\, x\in\mathbb{R}$. Atunci $\int_0^1 f(x)\,dx$ este:

a) $\dfrac{\pi}{2}$; b) $\pi$; c) $1$; d) $\dfrac{\pi}{3}$; e) $\dfrac{\pi}{4}$; f) $\dfrac{3\pi}{4}$.

Care este rezultatul apelului power(2,2025) pentru funcția recursivă definită mai jos?

(varianta C/C++)

int power(int x, int n) {
    if(n==0)
        return 1;
    if(n%2==0)
        return x * power(x, n/2);
    else
        return power(x, (n-1)/2);
}

a) 8; b) 1024; c) 128; d) 4096; e) 16; f) 2048.

Pentru mulțimea $\{1, 2, 3, \ldots, n\}$ se generează printr-un program toate permutările în care nu există numere vecine alăturate. Două numere $a$ și $b$ sunt vecine dacă $|a-b|=1$ (de exemplu 3 și 4 sunt vecine, 2 și 1 sunt vecine). Știind că pentru $n=5$ au fost generate 14 permutări distincte în care nu există numere vecine, câte permutări se vor genera pentru $n=6$?

a) 72; b) 56; c) 144; d) 90; e) 89; f) 120.

Să se determine valoarea parametrului real $m$ pentru care ecuația $\left|\left|\left|x-1\right|-2\right|-3\right|=mx$ are o infinitate de soluții.

a) $m=1$; b) $m=-1$; c) $m=3$; d) $m=-4$; e) $m=-2$; f) $m=-3$.

Să se calculeze $I=\int_{-2}^{2}\dfrac{1}{(x^2+4)(3^x+1)}\,dx$.

a) $I=\dfrac{\pi}{3}$; b) $I=0$; c) $I=\dfrac{\pi}{20}$; d) $I=\dfrac{\pi}{4}$; e) $I=\dfrac{\pi}{10}$; f) $I=\dfrac{\pi}{8}$.

Comparați numerele $a=2024^{\sqrt{2022}}$, $b=2023^{\sqrt{2023}}$ și $c=2022^{\sqrt{2024}}$.

a) $c<b<a$; b) $b<c<a$; c) $c<a<b$; d) $a<b<c$; e) $a<c<b$; f) $b<a<c$.

Fie funcția dată prin următorul pseudocod (% reprezintă restul împărțirii întregi). Care dintre următoarele apeluri au ca rezultat numai valori pare?

intreg f(intreg n, intreg y) {
  dacă (n > 0)
    dacă (n % 2 == 0) returnează f(n - 1, y + 1) + y;
    altfel returnează f(n - 1, y + 1);
  altfel returnează 0;
}

a) f(117, 200), f(222, 300), f(322, 485), f(422, 653); b) f(116, 100), f(220, 181), f(321, 281), f(420, 551); c) f(117, 130), f(222, 461), f(323, 771), f(422, 891); d) f(117, 240), f(222, 480), f(322, 795), f(422, 833); e) f(116, 150), f(222, 81), f(321, 331), f(420, 671); f) f(118, 241), f(222, 291), f(322, 481), f(422, 451).

Fie matricea $A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & -3 \\ 3 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$. Atunci suma modulelor elementelor de pe diagonala principală a matricei $A^{59}$ este:

a) $30799$; b) $30789$; c) $30790$; d) $30800$; e) $30795$; f) $30788$.

Se dă o matrice cu 3 linii și 3 coloane. Pornim din celula de start (1,1) și vrem să ajungem în celula destinație (3,3), respectând următoarele reguli. Din orice celulă (i,j) ne putem deplasa înainte către orice altă celulă (x,y), cu i<=x, j<=y și perechea (i,j) diferită de perechea (x,y). Pe parcursul deplasării se acceptă să ne întoarcem cel mult o dată dintr-o celulă (i,j) către orice altă celulă (x,y), cu x<=i, y<=j, iar perechea (i,j) este diferită de perechea (x,y). De exemplu, din celula (2,2) putem merge înainte către (2,3), (3,2) sau (3,3), și ne putem întoarce la (1,2), (2,1) sau (1,1). Putem alege să ne întoarcem inclusiv când ajungem în celula (3,3). În câte feluri putem ajunge din celula start către cea destinație?

a) 1024; b) 700; c) 2096; d) 2418; e) 2048; f) 260.

Fie funcția $f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x\cdot e^{1/x}$. Care dintre următoarele afirmații este falsă?

a) ecuația $f(x)=3$ are două soluții reale distincte; b) ecuația $f(x)=-1$ are o singură soluție reală; c) funcția $f$ are două puncte de inflexiune; d) graficul funcției $f$ are asimptotă oblică; e) funcția $f$ are un singur punct de extrem local; f) graficul funcției $f$ are o singură asimptotă verticală.

În câte moduri se poate colora următorul graf neorientat folosind 4 culori astfel încât 2 noduri adiacente să nu aibă aceeași culoare? [Figura: graf cu 8 noduri — patru noduri în colțurile unui pătrat exterior și patru noduri în colțurile unui pătrat interior. Muchii: cele 4 laturi ale pătratului exterior, cele 4 laturi ale pătratului interior, cele 4 muchii care leagă fiecare colț exterior de colțul interior corespunzător și cele 2 diagonale ale pătratului interior (X-ul din centru). În total 14 muchii.]

a) 288; b) 696; c) 625; d) 24!; e) 120; f) 24.

Fie mulțimea $M=\{1,2,3,4,5,6,7\}$. Să se determine numărul submulțimilor $S$ ale mulțimii $M$ cu proprietatea că există elementele $a$, $b$, $c$ ale mulțimii $M$ astfel încât $a<b<c$, cu $a\in S$, $b\notin S$ și $c\in S$.

a) $96$; b) $106$; c) $100$; d) $78$; e) $87$; f) $99$.

Se dau n obiecte (n e întreg pozitiv sau 0) ale căror mase și valori sunt stocate în tablourile unidimensionale de întregi m și, respectiv, v (primul element al tablourilor se găsește pe poziția 0). Într-un rucsac se pot transporta obiecte întregi cu masa însumată maxim C (întreg pozitiv sau 0). Trebuie identificată valoarea maximă ce poate să fie obținută prin adăugarea de obiecte în rucsac, astfel încât masa lor să nu depășească C. Procedura descrisă în pseudocod mai jos conține implementarea algoritmului backtracking care returnează soluția. Este considerată dată funcția max care primește 2 parametri întregi și returnează valoarea maximă dintre aceștia. Funcția se apelează cu parametrii: valoare pentru întreg C, tablourile m și v, valoare pentru n și un număr de obiecte. Completați cu secvența lipsă:

întreg bk(întreg C, întreg m[], întreg v[], întreg n)
    dacă (n = 0 sau C = 0)  returnează 0;
    dacă (m[n-1] > C)
        returnează bk(C, m, v, n-1);
    altfel
        returnează ______

a) max(v[n-1]+bk(C-m[n-1], m, v, n), bk(C, m, v, n)); b) max(v[n]+bk(C-m[n], m, v, n-1), bk(C, m, v, n-1)); c) max(v[n-1]+bk(C-m[n-1], m, v, n-1), bk(C, m, v, n-1)); d) max(bk(C-m[n-1], m, v, n-1), bk(C, m, v, n-1)); e) max(v[n]+bk(C-m[n], m, v, n), bk(C, m, v, n)); f) max(bk(C, m, v, n-1), bk(C, m, v, n-2)).

Un graf de tip scară are 2n noduri și este reprezentat ca în figură. [Figura: graf „scară" — nodurile x1,…,xn pe un rând, y1,…,yn pe rândul de jos; muchii: xi—x(i+1), yi—y(i+1) pentru 1≤i<n și xi—yi pentru 1≤i≤n.] Dacă n=11, în câte moduri putem alege n dintre muchiile acestuia, astfel încât oricare două dintre ele să nu aibă capete comune?

a) 377; b) 55; c) 75; d) 98; e) 144; f) 110.

Fie un tablou bidimensional M cu l linii și c coloane și un întreg pozitiv k. Valorile pentru elementele din tablou se calculează astfel: M[i][j]=(i+j) mod k, unde x mod y calculează restul împărțirii lui x la y, iar 0<=i<l, 0<=j<c. Câte perechi de elemente care au produsul egal cu suma se găsesc în M? Considerați că l=c=24 și k=6.

a) 9120; b) 384; c) 13824; d) 6912; e) 768; f) 4560.

Definim un tip înregistrare pentru reținerea unei fracții de forma a/b unde a este numărătorul și b este numitorul.

typedef struct fractie { int a, b; } Fractie;

Fie un vector care reține 31 de fracții în care primul element este pe poziția 0 și reține fracția 1/1. Definim restul elementelor din vector după următoarele formule, unde i>=0:

v[2*i+1].a = v[i].a;
v[2*i+1].b = v[i].a + v[i].b;
v[2*i+2].a = v[i].a + v[i].b;
v[2*i+2].b = v[i].b;

Ce fracție va reține elementul de pe poziția 9 din vector (adică v[9])?

a) 5/3; b) 5/2; c) 3/5; d) 7/4; e) 2/7; f) 4/3.

Aflați valorile lui $m\in\mathbb{R}$ pentru care ecuația $1-2x-2x^2=me^{2x}$ admite trei soluții reale distincte.

a) $m\in\left(-\dfrac{3}{e^2},0\right)$; b) $m\in\left(-\infty,-\dfrac{3}{e^2}\right)$; c) $m\in\left(\dfrac{1}{e},1\right)$; d) $m\in(e,\infty)$; e) $m\in(1,e)$; f) $m\in\left(0,\dfrac{1}{e}\right)$.

Să se afle $m\in\mathbb{R}$ astfel încât ecuația $x+1=m\cdot e^{|1-x|}$ să aibă două soluții reale distincte.

a) $m\in(0,2)$; b) $m\in\left(-\dfrac{1}{e^3},2\right)$; c) $m\in\left(-\dfrac{1}{e^2},0\right)\cup(0,1)$; d) $m\in(-e^3,1)\cup(1,2)$; e) $m\in\left(-\dfrac{1}{e^3},0\right)\cup(0,2)$; f) $m\in(0,1)$.

În urma apelului f(5) se afișează un șir de cifre. Care sunt cifrele de pe pozițiile 14-17, prima poziție fiind numerotată cu 1?

void f(int n)
{
  int i;
  for (i=n; i>=1; i-=2) {
    f(n-1);
    printf("%d", n); // cout << n;
  }
}

a) 2341; b) 4123; c) 4512; d) 1234; e) 1231; f) 2345.

Fie matricea $A=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$. Dacă $X(a)=I_2+aA$, $a\in\mathbb{R}$, să se determine numărul real $t$, știind că $X(2^t)=X(1)\cdot X\left(\dfrac{1}{2}\right)\cdot X\left(\dfrac{1}{3}\right)\cdot\ldots\cdot X\left(\dfrac{1}{1024}\right)$.

a) $t=7$; b) $t=14$; c) $t=-5$; d) $t=10$; e) $t=-7$; f) $t=9$.

Care este rezultatul întors de funcția scrisă mai jos în pseudocod, dacă este apelată cu valoarea 3 pentru parametrul a întreg și 10 pentru parametrul n întreg? S-a notat cu a%b restul împărțirii numărului natural a la numărul natural nenul b și cu [a] partea întreagă a numărului real a.

întreg f(întreg a, întreg n) {
    dacă (n == 0) returnează 1;
    altfel dacă (n%2 == 0) returnează f(a, n/2)*f(a, n/2);
    altfel returnează a*f(a, [n/2])*f(a, [n/2]);
}

a) 39366; b) 243; c) 486; d) 177147; e) 59049; f) 19683.

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, o funcție continuă astfel încât $f(3x)=9f(x)$, pentru orice $x\in\mathbb{R}$. Știind că $\int_0^1 f(x)\,dx=1$, să se calculeze $\int_1^3 f(x)\,dx$.

a) $28$; b) $18$; c) $26$; d) $20$; e) $24$; f) $15$.

Următoarea secvență de cod generează, folosind cifre de la 0 la 5, numere de 5 cifre. Primul șir afișat este 00000. La un moment dat se afișează 11521. La al câtelea apel al funcției genereaza se întâmplă acest lucru?

void genereaza(char* nr, int p) {
  if (p == 5) {
    nr[p] = '\0';
    printf("%s\n", nr); // cout<<nr<<endl;
    return;
  }
  for (int cifra = 0; cifra <= 5; cifra++) {
    nr[p] = '0' + cifra;
    genereaza(nr, p + 1);
  }
}
int main() {
  char nr[6];
  genereaza(nr, 0);
  return 0;
}

a) 2024; b) 1701; c) 1704; d) 2050; e) 1706; f) 2048.

Fie polinomul $f=(X+1)^{2024}+3X+5$. Să se determine restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g=X^2+3X+3$.

a) $X+3$; b) $3X+5$; c) $3X+3$; d) $2X-3$; e) $X+1$; f) $2X+3$.

Se consideră o hartă sub forma unei matrice 4x4. Dacă cineva pleacă de pe poziția (1,1) și vrea să ajungă în celula (4,4), se poate muta doar pe linii sau coloane cu numere mai mari și poate sări oricât de multe în ambele direcții, deci poate ajunge inclusiv direct din (1,1) în (4,4). În câte moduri distincte poate face acest lucru?

a) 76; b) 128; c) 256; d) 63; e) 252; f) 64.

Dacă $a$, $b$ și $c$ sunt numere reale nenule astfel încât $a+b+c=2$ și $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}$, să se calculeze $a^3+b^3+c^3$.

a) $8$; b) $6$; c) $14$; d) $25$; e) $19$; f) $27$.

Fie un arbore cu 10 noduri, numerotate de la 1 la 10 și vectorul său de tați v={0,1,1,2,2,3,3,x,y,z}. Câți vectori de tați valizi și distincți se pot forma dând valori lui x, y și z?

a) 700; b) 567; c) 720; d) 686; e) 729; f) 648.

Fie funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, cu $f(0)=-2$, care admite primitiva $F$. Dacă $f(x)+2F(x)=3$, pentru orice $x\in\mathbb{R}$, să se calculeze $f(-1)$.

a) $2e^2$; b) $e^2$; c) $-4e^3$; d) $-2e^2$; e) $-e^3$; f) $2e^{-2}$.

Fie ecuația $(x-[x])e^x=\dfrac{1}{9}$, unde prin $[x]$ s-a notat partea întreagă a numărului real $x$. Câte soluții are această ecuație în intervalul $(-5,5)$?

a) $5$; b) $9$; c) $8$; d) $6$; e) $4$; f) $7$.

Fie funcția $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2\ln x$ și punctul $M(0,-2)$. Fie

$$A=\{x_0\in(0,\infty)\mid \text{tangenta la graficul funcției } f \text{ în punctul de abscisă } x_0 \text{ trece prin } M\}.$$

Atunci:

a) $A\subset(e^2,\infty)$; b) $A\subset(\sqrt{e},e)$; c) $A\subset(0,1)$; d) $A\subset(e\sqrt{e},e^2)$; e) $A\subset(1,\sqrt{e})$; f) $A\subset(e,e\sqrt{e})$.

Se dau $m_1$ greutăți de $k_1$ kg fiecare și $m_2$ greutăți de $k_2$ kg fiecare. Cel mai bun candidat la un concurs a scris un program corect care stabilește modurile în care poate fi echilibrată o balanță având pe talerul din stânga o greutate $X$ dată și afișează numărul de soluții posibile. Greutățile pot fi puse pe ambele talere. Programul citește la rulare numerele naturale $m_1$ $k_1$ $m_2$ $k_2$ $X$ în această ordine. Ce afișează programul pentru trei rulări succesive: rulare 1: 5 2 5 1 4, rulare 2: 5 2 5 1 11, rulare 3: 5 2 5 1 20?

a) 10 5 0; b) 20 7 0; c) 20 7 1; d) 10 10 0; e) 10 7 0; f) 20 5 0.

Să se calculeze $l=\lim_{\alpha\to\infty}\displaystyle\int_0^{\alpha}\dfrac{2x+1}{x^4+2x^3+3x^2+2x+2}\,dx$.

a) $l=\dfrac{\pi}{3}$; b) $l=\operatorname{arctg} 2$; c) $l=\dfrac{\pi}{2}$; d) $l=\operatorname{arctg}\dfrac{1}{3}$; e) $l=\operatorname{arctg} 3$; f) $l=\dfrac{\pi}{4}$.

Se consideră șirul $1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6$. În câte moduri se pot aranja elementele șirului astfel încât în șirurile rezultate niciunul dintre elemente să nu se afle pe poziția sa inițială?

a) $\dfrac{6!}{1!}-\dfrac{6!}{2!}+\dfrac{6!}{3!}-\dfrac{6!}{4!}+\dfrac{6!}{5!}-\dfrac{6!}{6!}$; b) $6!$; c) $\dfrac{6!}{0!}-\dfrac{6!}{1!}+\dfrac{6!}{2!}-\dfrac{6!}{3!}+\dfrac{6!}{4!}-\dfrac{6!}{5!}+\dfrac{6!}{6!}$; d) $\dfrac{6!}{1!}+\dfrac{6!}{2!}-\dfrac{6!}{3!}+\dfrac{6!}{4!}-\dfrac{6!}{5!}+\dfrac{6!}{6!}$; e) $6!-5!$; f) $6!-4!$.

Fie $f(n)$ și $g(n)$ două funcții oarecare, unde $n$ este număr natural. Considerăm $x$ și $y$ două numere naturale nenule și definim următoarele recurențe:

$$a_0 = 0,\ a_1 = 1,\ a_{n+2} = a_{n+1} + a_n + f(n)$$
$$b_0 = 0,\ b_1 = 1,\ b_{n+2} = b_{n+1} + b_n + g(n)$$
$$c_0 = 0,\ c_1 = 1,\ c_{n+2} = c_{n+1} + c_n + x\cdot f(n) + y\cdot g(n)$$

Cum se poate exprima $c_n$ în funcție de $x$, $y$, $a_n$, $b_n$ și $F_n$, unde $F_n$ este elementul $n$ al șirului lui Fibonacci, care este definit astfel: $F_0=0$, $F_1=1$, $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$?

a) $c_n = x\cdot a_n + y\cdot b_n + (1-x-y)\cdot F_n$; b) $c_n = x\cdot a_n + y\cdot b_n + (1+x+y)\cdot F_n$; c) $c_n = x\cdot a_n + y\cdot b_n + (x+y)\cdot F_n$; d) $c_n = x\cdot a_n + y\cdot b_n + F_n$; e) $c_n = a_n + b_n + (1-x-y)\cdot F_n$; f) $c_n = a_n + b_n + (x+y)\cdot F_n$.

Fie o matrice $M$ cu elemente numere întregi. Valorile $M(i,j)$, $i\ge 0$, $j\ge 0$ se calculează folosind relația recursivă:

$$M(i,j) = \begin{cases} C, & \text{pentru } i=0 \text{ și } j=0 \\ M(i-1,0)+1, & \text{pentru } i>0 \text{ și } j=0 \\ M(0,j-1)+1, & \text{pentru } i=0 \text{ și } j>0 \\ \min(M(i-1,j), M(i,j-1))+1, & \text{pentru } i>0 \text{ și } j>0 \end{cases}$$

unde $C$ este un număr întreg. Dacă $M(2022,2023) = 5045$, care este valoarea lui $C$?

a) $1000$; b) $1024$; c) $2022$; d) $2023$; e) $3022$; f) $3023$.