Probleme

Fie $M=\left\{X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\ \middle|\ X^2=\begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}\right\}$, unde $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ reprezintă mulțimea matricelor pătratice de ordinul doi, cu elemente în $\mathbb{C}$. Pentru $X\in M$, notăm cu $S(X)$ suma pătratelor elementelor matricei $X$. Să se calculeze $S=\sum\limits_{X\in M} S(X)$.

a) $S=3$; b) $S=4$; c) $S=5$; d) $S=11$; e) $S=7$; f) $S=1$.

Considerăm funcția $f:[-1,1]\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{\pi}{2}-2\operatorname{arctg}\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}$, dacă $x\in(-1,1]$, și $f(-1)=-\dfrac{\pi}{2}$. Fie $M=\{m\in\mathbb{R}\mid$ ecuația $f(x)=mx$ are trei soluții reale și distincte$\}$. Atunci:

a) $M=\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right]$; b) $M=\left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{2}\right]$; c) $M=\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{3}\right]$; d) $M=\left[0,\dfrac{\pi}{3}\right]$; e) $M=\left[1,\dfrac{\pi}{4}\right)$; f) $M=\left(1,\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Fie polinoamele $f=X^3+aX^2+18$ și $g=X^3+bX+12$, unde $a,b\in\mathbb{R}$. Să se calculeze $S=a+b$ știind că polinoamele $f$ și $g$ au două rădăcini comune.

a) $S=0$; b) $S=1$; c) $S=3$; d) $S=-2$; e) $S=4$; f) $S=-1$.

Fie polinoamele $f,g\in\mathbb{R}[X]$, $f=(X-1)^{2017}+(X-3)^{2016}+X^2+X+1$ și $g=X^2-4X+4$. Să se determine restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g$.

a) $6X+1$; b) $X-1$; c) $6X-3$; d) $2X+1$; e) $2X-3$; f) $X+1$.

Pentru $a>0$, considerăm funcția $f:[0,a]\to\mathbb{R}_+$, $f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$. Dacă $V(a)$ este volumul corpului obținut prin rotirea graficului funcției $f$ în jurul axei $Ox$, să se calculeze $\lim\limits_{a\to\infty} V(a)$.

a) $\dfrac{\pi^2}{3}$; b) $\pi^2$; c) $\dfrac{\pi^2}{4}$; d) $\dfrac{\pi^2}{2}$; e) $\dfrac{\pi^2}{6}$; f) $\dfrac{\pi^2}{8}$.