Probleme

Să se determine mulțimea valorilor parametrului real $m$ pentru care matricea $\begin{pmatrix} 2 & x & 3 \\ m & x-1 & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}$ are rangul trei pentru orice $x<0$.

a) $\left(\dfrac{2}{3},1\right)$; b) $\left(\dfrac{5}{3},2\right]$; c) $\left(\dfrac{1}{2},2\right)$; d) $\left[-1,\dfrac{4}{3}\right]\cup\{2\}$; e) $\left[-\dfrac{1}{3},2\right]$; f) $\left(\dfrac{1}{3},1\right)$.

Pentru $n\in\mathbb{N}^*$ se consideră numerele nenule $a_1,a_2,\ldots,a_{2n}$ în progresie geometrică astfel încât suma lor este $4$ ori mai mare decât suma termenilor de rang par. Atunci rația este:

a) $3$; b) $\dfrac{2}{5}$; c) $\dfrac{1}{2}$; d) $\dfrac{1}{3}$; e) $6$; f) $1$.

Să se calculeze $l=\displaystyle\lim_{x\to\pi}\dfrac{\int_0^{\sin x} e^{t^2}\,dt}{\int_0^{\operatorname{tg} x} e^{t^2}\,dt}$.

a) $l=0$; b) $l=\infty$; c) $l=-1$; d) $l=1$; e) $l=-\infty$; f) $l=2$.

Să se determine suma pătratelor soluțiilor ecuației $\min\left\{1,x+2,\dfrac{5+4x}{7}\right\}=\dfrac{2x+1}{3}$, $x\in\mathbb{R}$.

a) $26$; b) $22$; c) $24$; d) $1$; e) $25$; f) $42$.

Fie $z$ un număr complex, $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$. Dacă $\dfrac{z}{z^2+4}$ este număr real, să se calculeze $|z|$.

a) $|z|=4$; b) $|z|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$; c) $|z|=2\sqrt{2}$; d) $|z|=\sqrt{3}$; e) $|z|=\dfrac{1}{2}$; f) $|z|=2$.

Fie funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=e^{-x}(x^2+ax+5)$. Mulțimea valorilor parametrului real $a$ pentru care funcția $f$ are un maxim local și un minim local este:

a) $(-\infty,-4)\cup(4,\infty)$; b) $(-2,2)$; c) $(4,\infty)$; d) $(-3,-2)$; e) $(-\infty,-4)$; f) $(-4,4)$.

Fie $\mathcal{F}$ mulțimea funcțiilor $f:[0,1]\to\mathbb{R}$, continue pe $[0,1]$ și de două ori derivabile pe $(0,1)$, astfel încât $f(0)=f(1)=0$ și $f''(x)\ge -2$, pentru orice $x\in(0,1)$. Să se determine valoarea maximă a integralei $\int_0^1 f(x)\,dx$, atunci când $f\in\mathcal{F}$.

a) $\dfrac{1}{4}$; b) $1$; c) $\dfrac{1}{6}$; d) $\dfrac{1}{2}$; e) $\dfrac{1}{3}$; f) $\dfrac{1}{8}$.

Fie funcția $f:\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\operatorname{arctg}\dfrac{1}{x^2-1}$. Care dintre următoarele afirmații nu este adevărată?

a) $f$ are două puncte de inflexiune; b) $f$ este funcție pară; c) $f$ are asimptotă verticală; d) $f$ este funcție mărginită; e) $f$ are asimptotă orizontală; f) $f$ are un punct de maxim local.

Fie matricea $A=\begin{pmatrix} 1 & 2025 & 2 \\ 2024 & 2 & 2024 \\ 2 & 2025 & 3 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$. Valoarea raportului $\dfrac{\det(A^{2025})}{\det(A^{2024})}$ este egală cu:

a) $2025\cdot 2024$; b) $2025$; c) $\dfrac{2025}{2024}$; d) $1$; e) $-2$; f) $0$.

Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $\sqrt{6x-8}=x$ este:

a) $\{-3;-2\}$; b) $\{-1;0\}$; c) $\{3;5\}$; d) $\{2;4\}$; e) $\{-4;-2\}$; f) $\{1;3\}$.

Să se determine coeficientul lui $x^6$ din dezvoltarea $(1+x+x^3)^6$.

a) $70$; b) $75$; c) $78$; d) $79$; e) $76$; f) $80$.

Să se rezolve inecuația $3x+1>2x+2$.

a) $x\in(-1,1)$; b) $x\in(1,\infty)$; c) $x\in(-\infty,-1)$; d) $x\in(-2,-1)$; e) $x\in(-\infty,-2)$; f) $x\in(-\infty,0)$.

Fie $a,b,c,d\in\mathbb{N}^*$ astfel încât $\log_a b=\dfrac{4}{3}$ și $\log_c d=\dfrac{5}{6}$. Dacă $c-a=37$, atunci $b-d$ este:

a) $49$; b) $56$; c) $38$; d) $52$; e) $42$; f) $64$.

Fie $A=\begin{pmatrix} m & -1 \\ 2 & m+2 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Știind că $\det(A)=1$, să se calculeze $m^2+2$.

a) $2$; b) $11$; c) $3$; d) $5$; e) $4$; f) $6$.

Aflați valorile lui $m\in\mathbb{R}$ pentru care ecuația $xe^x-me^x+1=0$ admite două soluții reale distincte.

a) $m\in(1,\infty)$; b) $m\in\left(-\dfrac{1}{2},0\right)$; c) $m\in\left(\dfrac{1}{2},1\right)$; d) $m\in(-\infty,-1)$; e) $m\in\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$; f) $m\in\left(-1,-\dfrac{1}{2}\right)$.

Numărul de elemente ale mulțimii $M=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} : |x|+|y|<100\}$ este egal cu:

a) $19801$; b) $19803$; c) $19798$; d) $19800$; e) $19802$; f) $19799$.

Să se determine suma modulelor soluțiilor ecuației $3^{x^2+4x+6}=27$.

a) $7$; b) $5$; c) $1$; d) $6$; e) $3$; f) $4$.

Fie funcțiile $f,g:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=\operatorname{arctg}\sqrt{x}$ și $g(x)=\dfrac{1}{4}(\pi+\ln x)$. Dacă tangenta comună într-un punct comun al graficelor funcțiilor $f$ și $g$ intersectează axa $Ox$ în punctul $P(\alpha,0)$, atunci $\alpha$ este:

a) $\pi$; b) $1$; c) $1-\pi$; d) $1+\pi$; e) $\dfrac{\pi}{2}+1$; f) $0$.

Fie sistemul de ecuații liniare
$$\begin{cases} 2mx+y+(m+1)z=2m+1 \\ (m+2)x+(m+1)y+(m+2)z=2 \\ 3mx+y+(2m+1)z=1 \end{cases}$$
unde $m$ este un parametru real. Notăm cu $A$ mulțimea valorilor lui $m$ pentru care sistemul este incompatibil. Atunci:

a) $A=\{0;1\}$; b) $A=\{1;2\}$; c) $A=\{-1;0;1\}$; d) $A=\{-1;1\}$; e) $A=\{-2;-1\}$; f) $A=\{-2;0;1\}$.

Valoarea limitei $\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^4}\int_{x^2}^{2x^2}\dfrac{t}{\sqrt{t^2+9}}\,dt$ este:

a) $2$; b) $1$; c) $0$; d) $\infty$; e) $\dfrac{1}{2}$; f) $-1$.

Fie $x_1$, $x_2$, $x_3$ rădăcinile polinomului $f=X^3+mX+6$, unde $m<0$. Dacă $x_1^4+x_2^4+x_3^4=98$, să se calculeze $|x_1|+|x_2|+|x_3|$.

a) $6$; b) $2$; c) $4$; d) $0$; e) $5$; f) $3$.

Dacă $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile reale ale ecuației $x^2+3x+1=0$, atunci valoarea expresiei $\left(\dfrac{x_1}{x_2+1}\right)^2+\left(\dfrac{x_2}{x_1+1}\right)^2$ este:

a) $20$; b) $10$; c) $4$; d) $13$; e) $18$; f) $25$.

Să se determine numărul soluțiilor reale ale ecuației $\left[\dfrac{2x-1}{3}\right]+\left[\dfrac{4x+1}{6}\right]=\dfrac{5x-4}{3}$, unde prin $[a]$ notăm partea întreagă a numărului real $a$.

a) $5$; b) $9$; c) $10$; d) $8$; e) $6$; f) $7$.

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ o funcție derivabilă, astfel încât $x^2+2\int_0^x t\cdot f(t)\,dt+2=(x^2+1)\cdot f(x)+\ln 2$, $(\forall)\, x\in\mathbb{R}$. Atunci $\int_0^1 f(x)\,dx$ este:

a) $\dfrac{\pi}{2}$; b) $\pi$; c) $1$; d) $\dfrac{\pi}{3}$; e) $\dfrac{\pi}{4}$; f) $\dfrac{3\pi}{4}$.

Să se determine valoarea parametrului real $m$ pentru care ecuația $\left|\left|\left|x-1\right|-2\right|-3\right|=mx$ are o infinitate de soluții.

a) $m=1$; b) $m=-1$; c) $m=3$; d) $m=-4$; e) $m=-2$; f) $m=-3$.

Fie $(a_n)_{n\ge 1}$ o progresie aritmetică și $S_n$ suma primilor $n$ termeni ai acesteia. Dacă $S_5=40$ și $S_{10}=155$, să se calculeze $S_{15}$.

a) $344$; b) $346$; c) $345$; d) $340$; e) $343$; f) $347$.

Să se calculeze $I=\int_{-2}^{2}\dfrac{1}{(x^2+4)(3^x+1)}\,dx$.

a) $I=\dfrac{\pi}{3}$; b) $I=0$; c) $I=\dfrac{\pi}{20}$; d) $I=\dfrac{\pi}{4}$; e) $I=\dfrac{\pi}{10}$; f) $I=\dfrac{\pi}{8}$.

Comparați numerele $a=2024^{\sqrt{2022}}$, $b=2023^{\sqrt{2023}}$ și $c=2022^{\sqrt{2024}}$.

a) $c<b<a$; b) $b<c<a$; c) $c<a<b$; d) $a<b<c$; e) $a<c<b$; f) $b<a<c$.

Fie matricea $A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & -3 \\ 3 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$. Atunci suma modulelor elementelor de pe diagonala principală a matricei $A^{59}$ este:

a) $30799$; b) $30789$; c) $30790$; d) $30800$; e) $30795$; f) $30788$.

Fie funcția $f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x\cdot e^{1/x}$. Care dintre următoarele afirmații este falsă?

a) ecuația $f(x)=3$ are două soluții reale distincte; b) ecuația $f(x)=-1$ are o singură soluție reală; c) funcția $f$ are două puncte de inflexiune; d) graficul funcției $f$ are asimptotă oblică; e) funcția $f$ are un singur punct de extrem local; f) graficul funcției $f$ are o singură asimptotă verticală.

Fie mulțimea $M=\{1,2,3,4,5,6,7\}$. Să se determine numărul submulțimilor $S$ ale mulțimii $M$ cu proprietatea că există elementele $a$, $b$, $c$ ale mulțimii $M$ astfel încât $a<b<c$, cu $a\in S$, $b\notin S$ și $c\in S$.

a) $96$; b) $106$; c) $100$; d) $78$; e) $87$; f) $99$.

Aflați valorile lui $m\in\mathbb{R}$ pentru care ecuația $1-2x-2x^2=me^{2x}$ admite trei soluții reale distincte.

a) $m\in\left(-\dfrac{3}{e^2},0\right)$; b) $m\in\left(-\infty,-\dfrac{3}{e^2}\right)$; c) $m\in\left(\dfrac{1}{e},1\right)$; d) $m\in(e,\infty)$; e) $m\in(1,e)$; f) $m\in\left(0,\dfrac{1}{e}\right)$.

Să se afle $m\in\mathbb{R}$ astfel încât ecuația $x+1=m\cdot e^{|1-x|}$ să aibă două soluții reale distincte.

a) $m\in(0,2)$; b) $m\in\left(-\dfrac{1}{e^3},2\right)$; c) $m\in\left(-\dfrac{1}{e^2},0\right)\cup(0,1)$; d) $m\in(-e^3,1)\cup(1,2)$; e) $m\in\left(-\dfrac{1}{e^3},0\right)\cup(0,2)$; f) $m\in(0,1)$.

Fie matricea $A=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$. Dacă $X(a)=I_2+aA$, $a\in\mathbb{R}$, să se determine numărul real $t$, știind că $X(2^t)=X(1)\cdot X\left(\dfrac{1}{2}\right)\cdot X\left(\dfrac{1}{3}\right)\cdot\ldots\cdot X\left(\dfrac{1}{1024}\right)$.

a) $t=7$; b) $t=14$; c) $t=-5$; d) $t=10$; e) $t=-7$; f) $t=9$.

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, o funcție continuă astfel încât $f(3x)=9f(x)$, pentru orice $x\in\mathbb{R}$. Știind că $\int_0^1 f(x)\,dx=1$, să se calculeze $\int_1^3 f(x)\,dx$.

a) $28$; b) $18$; c) $26$; d) $20$; e) $24$; f) $15$.

Fie polinomul $f=(X+1)^{2024}+3X+5$. Să se determine restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g=X^2+3X+3$.

a) $X+3$; b) $3X+5$; c) $3X+3$; d) $2X-3$; e) $X+1$; f) $2X+3$.

Dacă $a$, $b$ și $c$ sunt numere reale nenule astfel încât $a+b+c=2$ și $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}$, să se calculeze $a^3+b^3+c^3$.

a) $8$; b) $6$; c) $14$; d) $25$; e) $19$; f) $27$.

Fie funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, cu $f(0)=-2$, care admite primitiva $F$. Dacă $f(x)+2F(x)=3$, pentru orice $x\in\mathbb{R}$, să se calculeze $f(-1)$.

a) $2e^2$; b) $e^2$; c) $-4e^3$; d) $-2e^2$; e) $-e^3$; f) $2e^{-2}$.

Fie ecuația $(x-[x])e^x=\dfrac{1}{9}$, unde prin $[x]$ s-a notat partea întreagă a numărului real $x$. Câte soluții are această ecuație în intervalul $(-5,5)$?

a) $5$; b) $9$; c) $8$; d) $6$; e) $4$; f) $7$.

Fie funcția $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2\ln x$ și punctul $M(0,-2)$. Fie

$$A=\{x_0\in(0,\infty)\mid \text{tangenta la graficul funcției } f \text{ în punctul de abscisă } x_0 \text{ trece prin } M\}.$$

Atunci:

a) $A\subset(e^2,\infty)$; b) $A\subset(\sqrt{e},e)$; c) $A\subset(0,1)$; d) $A\subset(e\sqrt{e},e^2)$; e) $A\subset(1,\sqrt{e})$; f) $A\subset(e,e\sqrt{e})$.

Să se calculeze $l=\lim_{\alpha\to\infty}\displaystyle\int_0^{\alpha}\dfrac{2x+1}{x^4+2x^3+3x^2+2x+2}\,dx$.

a) $l=\dfrac{\pi}{3}$; b) $l=\operatorname{arctg} 2$; c) $l=\dfrac{\pi}{2}$; d) $l=\operatorname{arctg}\dfrac{1}{3}$; e) $l=\operatorname{arctg} 3$; f) $l=\dfrac{\pi}{4}$.

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{x^2+ax+b}{\sqrt{x^2+1}}$, unde $a,b$ sunt numere reale. Presupunem că funcția $f$ admite trei puncte de extrem local și are asimptota $y=x+2$. Atunci

a) $a+b>7$; b) $a+b\in(6,7)$; c) $a+b\in(5,6)$; d) $ab\in(6,7)$; e) $ab=6$; f) $ab=\dfrac{1}{4}$.

Să se determine suma pătratelor soluțiilor reale ale ecuației $\sqrt[3]{5x-2}=\dfrac{1}{5}(x^3+2)$.

a) $14$; b) $10$; c) $9$; d) $17$; e) $4$; f) $11$.

Fie polinomul $P\in\mathbb{R}[X]$, $P=aX^{2024}+bX^{2023}+2X^3+cX^2+7X-3$. Dacă $P$ este divizibil prin $X^2+1$ și restul împărțirii lui $P$ la $X+1$ este $3$, să se calculeze $P(1)$.

a) $31$; b) $15$; c) $21$; d) $-14$; e) $27$; f) $36$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție: $x*y=2xy-10x-10y+55$. Să se determine suma soluțiilor reale ale ecuației

$$\underbrace{x*x*\cdots*x}_{\text{de } 2024 \text{ ori } x}=\dfrac{11}{2}.$$

a) $10$; b) $14$; c) $12$; d) $9$; e) $11$; f) $13$.

Fie $f:(1,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(y)=\displaystyle\int_0^y \dfrac{1}{x^2-2x+y}\,dx$. Calculați $\displaystyle\int_2^{10} f(y)\,dy$.

a) $3\pi$; b) $2\pi$; c) $\dfrac{5\pi}{3}$; d) $\pi$; e) $\dfrac{\pi}{2}$; f) $\dfrac{3\pi}{2}$.

Fie sistemul
$$\begin{cases} mx+y-z=1 \\ x+y-z=2 \\ -x+y+z=0 \end{cases}$$
unde $m$ este un parametru real. Pentru câte valori $m\in\mathbb{Z}$ sistemul are soluție unică $(x_0,y_0,z_0)$, cu componentele numere întregi?

a) $4$; b) $3$; c) $1$; d) o infinitate; e) $2$; f) $5$.

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\displaystyle\int_0^1 |x-t|\,dt$. Să se calculeze $I=\displaystyle\int_{-1}^{2} f(x)\,dx$.

a) $I=\dfrac{11}{2}$; b) $I=\dfrac{8}{5}$; c) $I=\dfrac{4}{3}$; d) $I=\dfrac{1}{2}$; e) $I=\dfrac{1}{5}$; f) $I=\dfrac{7}{3}$.

Se consideră sistemul
$$\begin{cases} 2x+ay+az=1 \\ 3x+(2a-1)y+az=a \\ (a+3)x+ay+az=3a-2 \end{cases}$$
Să se afle $a\in\mathbb{R}$ astfel încât sistemul să fie compatibil nedeterminat.

a) $a=1$; b) $a=0$; c) $a=-1$; d) $a=4$; e) $a=2$; f) $a=-2$.

Să se determine numărul funcțiilor $f:\{0,1,2,\ldots,9,10\}\to\{0,1,2\}$, care au proprietatea $f(0)+f(1)+\ldots+f(10)=3$.

a) $275$; b) $444$; c) $317$; d) $255$; e) $257$; f) $313$.

Să se afle valorile parametrului real $m$ astfel încât ecuația $x^2+1=me^{-\frac{1}{x}}$ să aibă trei soluții reale distincte.

a) $m>2e$; b) $m\in(1,e)$; c) $m\in(1,e^2)$; d) $m\in(e,2e)$; e) $m<2e$; f) $m\in(0,1)$.

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, funcția continuă care verifică relația $3f(x)+5f(-x)=4x+3$, pentru orice $x\in\mathbb{R}$. Să se determine numărul real $a$ astfel încât $\displaystyle\int_{-a}^{a} \dfrac{f(x)}{x^2+4}\,dx=\dfrac{3\pi}{32}$.

a) $a=2$; b) $a=4$; c) $a=-2$; d) $a=3$; e) $a=1$; f) $a=7$.

Fie funcția $f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{|x|e^x}{e^x-e}$. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

a) $f$ are trei puncte de extrem local; b) $f$ are două puncte de extrem local; c) $f$ are un punct de extrem local; d) imaginea funcției $f$ este $\mathbb{R}$; e) $f$ este derivabilă în $0$; f) graficul funcției $f$ are două asimptote oblice.

Fie $f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{R}$, $f(n)=n+\left[\dfrac{2022}{n}\right]$, unde prin $[x]$ notăm partea întreagă a numărului real $x$. Pentru câte valori $n\in\mathbb{N}^*$, funcția $f$ își atinge cea mai mică valoare?

a) $6$; b) $2$; c) $4$; d) $1$; e) $3$; f) $5$.

Fie funcția $f:[1,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=\int_{1}^{x} t(1-\ln^{2}t)\,dt$. Aflați abscisa punctului de maxim local.

a) $e$; b) $2\sqrt{e}$; c) $\sqrt[3]{e^{2}}$; d) $\dfrac{1}{e}$; e) $\sqrt{e}$; f) $e^{2}$.

Pe mulțimea $\mathbb{Z}$ a numerelor întregi se definește legea de compoziție $x\circ y=xy-5x-5y+30$. Atunci suma elementelor simetrizabile în raport cu legea de compoziție "$\circ$" este:

a) $10$; b) $9$; c) $6$; d) $0$; e) $5$; f) $8$.

Fie $M=\{1,2,3,\ldots,999\}$. Să se determine numărul elementelor mulțimii $M$ care conțin cifra $9$ cel puțin o dată:

a) $271$; b) $243$; c) $270$; d) $274$; e) $275$; f) $272$.

Să se determine mulțimea valorilor lui $a\in\mathbb{R}$ astfel încât ecuația $\ln(1+2x)-x^{2}=a$ să aibă o singură soluție strict negativă.

a) $a\in(-e,e)$; b) $a\in(0,\ln 2)$; c) $a\in(-1,\ln 2)$; d) $a\in(-\infty,0)$; e) $a\in\left(0,\ln 2-\dfrac{1}{4}\right)$; f) $a\in\left(\dfrac{1}{2},\ln 3\right)$.

Pentru $r>0$, fie mulțimea $M=\{z\in\mathbb{C}\ ;\ |z|=1\ \text{și}\ |z-3i|=r\}$. Fie $A=\{r>0\ ;\ M\ \text{are un singur element}\}$. Să se determine suma $S$ a elementelor mulțimii $A$.

a) $S=6$; b) $S=5$; c) $S=4$; d) $S=2$; e) $S=8$; f) $S=12$.

Fie $P$ un polinom cu coeficienți reali astfel încât $P(1)+P(2)+\ldots+P(n)=n^{5}$, pentru orice număr natural $n\ge 1$. Să se calculeze $P\left(\dfrac{3}{2}\right)$.

a) $\dfrac{225}{49}$; b) $\dfrac{121}{16}$; c) $\dfrac{114}{31}$; d) $\dfrac{47}{15}$; e) $\dfrac{91}{17}$; f) $\dfrac{169}{25}$.

Dacă $a$, $b$ și $c$ sunt determinate astfel încât să aibă loc egalitatea $\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^{5}}\int_{0}^{x}(a+b\cos t+c\cos 2t)\,dt=\dfrac{1}{5}$, să se calculeze $S=|a|+|b|+|c|$.